3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)
3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．
2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．
3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，且M?A：
如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时
都有f(x1)＞f(x2)
都有f(x1)＜f(x2)
结论
y＝f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增)
y＝f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减)
图示
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＞x2；
(3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在M上具有单调性(当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
思考2：函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
3．函数的最值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，记作fma x＝f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，记作fmin＝f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
C [由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]
3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1,0 B．0,2
C．－1,2 D.，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]
4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
定义法证明(判断)函数的单调性
【例1】 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
[思路点拨] ―→
[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝，
∵0
∴x1－x2＞0,0∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的步骤
?1?取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2.
?2?作差变形：作差f?x1?－f?x2?，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
?3?定号：确定f?x1?－f?x2?的符号.
?4?结论：根据f?x1?－f?x2?的符号及定义判断单调性.
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.
1．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解] (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
求函数单调区间的方法
?1?利用已知函数的单调性求函数的单调区间.
?2?利用函数图像求函数的单调区间.
提醒：?1?若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.
?2?理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.
2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] 先画出
f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
函数单调性的应用
[探究问题]
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)数形结合,
(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数,
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
[解] 由题意可知，
解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
?1?函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
?2?若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
求函数的最值(值域)
【例4】 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值为f(4)＝＝.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
4．已知函数f(x)＝求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．
[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．
由图像可知，当x＝1时，f(x)取最大值为f(1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0.
1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．
1．思考辨析
(1)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( )
(3)任何函数都有最大(小)值．( )
(4)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
B [对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B.]
3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为________．
[－1,3] [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]．]
4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
[证明] f(x)＝2＋，
设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
课件54张PPT。第三章 函数3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明单调性 ≤≥最值点最值定义法证明(判断)函数的单调性求函数的单调区间函数单调性的应用求函数的最值(值域)点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 函数的平均变化率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)
2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)
通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.
1．直线的斜率
(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
2．平均变化率与函数单调性
若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
3．平均变化率的物理意义
(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝.
1．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为( )
A．－ B. C．－2 D．2
A [直线AB的斜率＝－.]
2．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B [＝＝＝－1.]
3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)
减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2.
∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，
∴＝＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]
4．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率.
[解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.
则＝＝21.
平均变化率的计算
【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．
2．求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
1．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．
[解] (1)如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率＝＝0.35(m/s)，
即此人离开灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.
利用平均变化率证明函数的单调性
【例2】 若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝在I上为减函数．
[思路点拨] 由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．
[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，
∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g(x2)－g(x2)＝－＝.
又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，
∴Δg＜0，
∴＜0，故g＝在I上为减函数．
单调函数的运算性质
若函数f?x?，g?x?在区间I上具有单调性，则：?1?f?x?与f?x?＋C?C为常数?具有相同的单调性.
?2?f?x?与a·f?x?，当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性.
?3?当f?x?恒为正值或恒为负值时，f?x?与具有相反的单调性.
(4)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
2．已知函数f(x)＝1－，x∈[3,5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．
[解] 由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－为增函数．
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－－＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．
二次函数的单调性最值问题
[探究问题]
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？
提示：
2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
[思路点拨]
[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．
[解] (1)当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
(2)当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝2－a.
(3)当0<<1，即02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝，
①当t≥时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝2＋＝t2＋t＋1；
③当t<二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
－＜m＜n，
即－∈(－∞，m)
m＜－＜n，
即－∈(m，n)
m＜n＜－，
即－∈(n，＋∞)
图像
最值
f(x)max＝f(n)，
f(x)min＝f(m)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(m)，
f(x)min＝f(n)
1．平均变化率中Δx，Δy，的理解
(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；
(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件
(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是＞0恒成立；
(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是＜0恒成立.
1．思考辨析
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.( )
(2)函数y＝f(x)的平均变化率＝的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．( )
(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝从1到4的平均变化率为( )
A. B.
C．1 D．3
A [Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝.]
3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
B [由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]
4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
[解] 该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s)．
课件45张PPT。第三章 函数3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第2课时 函数的平均变化率不存在 x ＜＞平均变化率的计算利用平均变化率证明函数的单调性二次函数的单调性最值问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 单调性的定义与证明
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
C [由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a> D．a<
D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.]
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B. C. D．－
B [∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
C [函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是( )
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
D [因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，
又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．]
二、填空题
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
4 [因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，
又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；
③y＝；④y＝[f(x)]2.
②③ [f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.]
三、解答题
9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．
[解] 由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，解得2＜x＜.
10．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
[解] 设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
[等级过关练]
1．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)C．f(2)A [对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)2．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
D [由题意知实数a满足解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0,2]．]
3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
， [函数f(x)＝2x2－3|x|＝
图像如图所示，f(x)的单调递减区间为
，.
]
4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4,6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]
5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．
从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得或(不合题意，舍去)．
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的对称轴为直线x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.
课时分层作业(二十一) 函数的平均变化率
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
B [∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.]
2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0 B．1 C．3 D．Δx
A [＝＝0.]
3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
C [＝＝12＋2Δt.]
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
C [根据平均变化率的定义，可知
＝＝a＝3，故选C.]
5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
A [①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]
二、填空题
6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．
3－Δx [＝
＝3－Δx.]
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．
＜＜ [＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，
∴＜＜.]
8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
6x0＋3Δx 12.3 [函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]
三、解答题
9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．
[解] 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，
＝＝－.
∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，
∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[解] (1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．
证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
所以＝＝.
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f(x)＝在[3,5]上是增函数．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
D [∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx，
故选D.]
2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
D [k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．]
3．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
－ [∵Δy＝－
＝－＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.]
4．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
[由函数f(x)的图像知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.]
5．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·，
∴＝＝.
∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，
∴＝＞0，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立?x2＋2x＋a＞0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，
故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).
