3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)
1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．
2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．
3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养.
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．
(2)三者之间的关系：
函数f(x)的零点?函数f(x)的图像与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
1．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
B [令1＋＝0解得x＝－1，
故选B.]
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
C [令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
A [∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值， ∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.]
4．不等式≥0的解集为________．
[－1,1) [原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1.]
函数的零点及求法
【例1】 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[解] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
求函数y＝f?x?的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f?x?＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f?x?的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1．如图所示是一个二次函数y＝f(x)的图像．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．
[解] (1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3,1.
(2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.
二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
【例2】 利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪.
利用函数求不等式解集的基本步骤
?1?把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；
?2?计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；
?3?求其对应一元二次方程的根；
?4?写出解集?大于取两边，小于取中间?.
2．利用函数求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5＜0；
(4)－4x2＋18x－＞0.
[解] (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－.
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪.
(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－，x2＝4＋.
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，
所以原不等式的解集为(4－，4＋)．
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0，
所以原不等式的解集为(－1,5)．
(4)原不等式可化为2＜0，
所以原不等式的解集为?.
用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例3】 求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－3)
(－3,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．
解题步骤：?1?求出零点；?2?拆分定义域；?3?判断符号；?4?写出解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间.
3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－2,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
＋
－
＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是( )
A．(－1,0)
B．(1,2)
C．一个根在(－1,0)上，另一个根在(1,2)上
D．一个根在(0,1)上，另一个根在(－2，－1)上
C [∵ f(－1)· f(0)＜0, f(1)· f(2)＜0，∴选C.]
3．函数f(x)＝x－零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [令x－＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.∴f(x)＝x－的零点有两个. ]
4．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
4 [f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．]
课件38张PPT。第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系有实数根等于零f(α)＝0负数零点正数解集零点图像函数的零点及求法二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 用函数零点法求一元高次不等式的解集点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)
1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．
3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
2．二分法的定义
(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0.
(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间[a，b]的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步 若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
C [因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
2．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
D [函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，
如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；
函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
④ [∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点．]
判断函数零点所在的区间
【例1】 求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
[证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，
所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
对二分法概念的理解
【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A．(－2.1，－1) B．(1.9,2.3)
C．(4.1,5) D．(5,6.1)
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]
用二分法求函数零点
【例3】 求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
利用二分法求函数零点应关注三点
?1?要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
?2?用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
?3?根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.
3．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
[解] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)
的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.187 5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187 5)<0
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
用二分法求方程的近似解
【例4】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
4.求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度0.1)
[解] 设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0?x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3,5]上有一个零点．]
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是( )
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
C [由由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)．故选C.]
3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
[答案] B
4.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，
当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过
A．ε B.ε
C．2ε D.ε
B [根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε.故选B.]
课件44张PPT。第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法判断函数零点所在的区间对二分法概念的理解用二分法求函数零点用二分法求方程的近似解点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四)
函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是( )
A．2,3 B．－2,3
C．6，－1 D．－6,1
C [令x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.]
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
D [∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．
∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．]
3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
C [唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可能没有．]
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
A [由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4.]
5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为( )
A．－6 B．－2 C．2 D．6
C [由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和，且a＜0，
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.故选C.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
－，－ [依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－和－.]
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
(－1,0) [∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
3 0 [∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.]
三、解答题
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[解] 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得或
即或
解得－10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
∴a的取值范围是(－1,1)．
[等级过关练]
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)
B [因为关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，
所以－1,2是ax2＋bx＋2＝0(a＜0)的两根．
所以所以a＝－1，b＝1.
所以不等式bx2－ax－2＞0即为x2＋x－2＞0，
所以x＜－2或x＞1，故选B.]
2.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
D [当a＝2时，－4＜0恒成立．
当a≠2时，∴－2＜a＜2.
综上，得－2＜a≤2.]
3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由已知解得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
4．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．
[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，
即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜.]
5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
[解] (1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；
当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜，所以x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
C [因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，故选C.]
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A [使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一 个零点，则a的取值范围是( )
A．a＜－1 B．a＞1
C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1
B [由题意知f(0)·f(1)＜0，即 (－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1.]
4．函数y＝f(x)的图像在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且 f(1)· f(4)＜0，则函数y＝ f(x)( )
A．在(1,4)内有且仅有一个零点
B．在(1,4)内至少有一个零点
C．在(1,4)内至多有一个零点
D．在(1,4)内不一定有零点
B [可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝ f(x)在[1,4]内至少有一个零点．]
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
D [由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.]
二、填空题
6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5)，f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．]
7．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
0．75(答案不唯一) [因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．]
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4 [将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]
三、解答题
9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．
[解] f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，
f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.156 25<0，
∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，
f(0.812 5)≈0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，
即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.
所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.
10．甲从A地以每小时60 km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)
[解] 设乙经过t(h)可追上甲，
则60＝20t2，整理得4t2－12t－3＝0，
设f(t)＝4t2－12t－3，
∵f(3)＝－3＜0，f(4)＝13＞0，
∴函数f(t)＝4t2－12t－3在(3,4)上必有一零点，即方程4t2－12t－3＝0在(3,4)上必有一实数根．
设该实数根为t0，则t0∈(3,4)，用二分法可知：t0∈(3,3.5)，t0∈(3,3.25)，t0∈(3.125,3.25)，t0∈(3.187 5，3.25)，t0∈(3.218 75,3.25)，t0∈(3.218 75,3.234 375)．由于区间的两个端点值精确到0.1时都是3.2，故t0＝3.2，即乙需3.2小时可追上甲．
[等级过关练]
1．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
2．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过( )
A. B.
C．m D．2m
B [假设a∈，因为|x0－a|＝≤＝＜.
选B.]
3．如果一个正方形的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V＝S＋1，那么这个正方体的棱长(精确度为0.01)约为________．
6．03 [设正方体的棱长为x，则V＝x3，S＝6x2，∵V＝S＋1，∴x3＝6x2＋1.设f(x)＝x3－6x2－1，应用二分法得方程的近似解为6.03.]
4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
2 [(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图像如图，
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有2个交点．]
5．已知函数f(x)＝x3＋x.
(1)试求函数y＝f(x)的零点；
(2)是否存在自然数n，使f(n)＝1 000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．
[解] (1)函数y＝f(x)的零点即方程x3＋x＝0的实数根，解方程得x＝0.
(2)计算得f(9)＝738，f(10)＝1 010，由函数f(x)＝x3＋x在区间(0，＋∞)单调递增，可知不存在自然数n，使f(n)＝1 000成立．
