3.3 函数的应用(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1. 通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A．y＝20－x,0C．y＝40－x,0[答案] A
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A [由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
一次函数模型的应用
【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2 000套 B ．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
D [因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像．根据图像填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) [(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．]
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
二次函数模型的解析式为g?x?＝ax2＋bx＋c?a≠0?.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.
2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000
＝2＋，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电总费用最小．
分段函数模型的应用
【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解] (1)当05时，产品只能售出500件．
所以f(x)＝
即f(x)＝
(2)当0f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5(吨)，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
(1)甲比乙先出发．( )
(2)乙比甲跑的路程多．( )
(3)甲、乙两人的速度相同．( )
(4)甲先到达终点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A B C D
B [题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]
3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝
4. 某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
[解] (1)由图像知，可设y＝kx＋b(k≠0)，x∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；x∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，
从而y＝15x－2 500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．
课件44张PPT。第三章 函数3.3 函数的应用(一)一次函数模型的应用二次函数模型的应用分段函数模型的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十六) 函数的应用(一)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
D [由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
B [设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图像过点(1,800)，(2,1 300)，
则解得
∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
∴营销人员没有销售量时的收入是300元．]
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
C [令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．]
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15
C．25 D．50
B [设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么( )
A．此人可在7 s内追上汽车
B．此人可在10 s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m
D [设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为________．
S(t)＝2t2＋108t＋400，t∈N [日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
2 [设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，
这两个正三角形面积之和的最小值是2 cm2.]
8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
3 800 [若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)．
又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800元．]
三、解答题
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”．若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
[解] (1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
[解] 设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得＝，即＝，解得y＝40－x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1 200＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最少为600 cm2.
[等级过关练]
1．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
C [根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．]
2．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好 B．月末售出好
C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定
D [设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．
可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]
3．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图像如图(2)所示，则△ABC的面积为________．
(1) (2)
16 [由题图可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝×8×4＝16.]
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
3 30 [设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.]
5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解] (1)当0由f(x)的图像(图略)可知，当x＝10时，f(x)max＝f(10)＝59；
当10当16因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.
