集合的并、交、补运算
【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
(1)用列举法表示集合A与B；
(2)求A∩B及?U(A∪B)．
[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．
(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}．]
集合关系和运算中的参数问题
【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R，
∴
∴－1≤a≤0.
(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在．
根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的问题转化为A?B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.
2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求实数k的取值范围.
[解] 由于B?A，在数轴上表示A，B，如图，
可得解得
所以k的取值范围是.
充分条件与必要条件
【例3】 已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.
[解] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.
再证充分性：
因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，
y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.
即充分性成立．
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．
－或 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.]
全称量词与存在量词
【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
(2)命题p：“?x∈R，x2＞0”，则( )
A．p是假命题；p：?x∈R，x2＜0
B．p是假命题；p：?x∈R，x2≤0
C．p是真命题；p：?x∈R，x2＜0
D．p是真命题；p：?x∈R，x2≤0
(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.
(2)由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故选B.]
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系
?1?一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p?x?的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.
?2?与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.
4．下列命题不是存在量词命题的是( )
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
B [选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]
5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]
课件28张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语章末复习课集合的并、交、补运算集合关系和运算中的参数问题充分条件与必要条件全称量词与存在量词Thank you for watching !章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表示正确的是( )
A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}
C．?＝{?} D．1∈{有理数}
D [选项A不正确，因为符号“{ }”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．]
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}
C．{x|1B [由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}，∴A∪(?RB)＝{x|x≥－1}．]
3．满足{1}?X?{1,2,3,4}的集合X有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
D [集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．]
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( )
A．对任意x∈R，都有x2＜1
B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D.存在x∈R，使得x2＜1
D [因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]
5．命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x∈R，x3－x2＋1≥0
C．?x∈R，x3－x2＋1>0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“?x∈R，x3－x2＋1>0”．
故选C.]
6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]
7．a2＞b2的一个充分条件是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a＝2，b＝1
D [A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选D.]
8．下列命题中，真命题是( )
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．?x∈R，x2＋2≤0
A [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.]
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.]
10．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A??RB，那么m的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [根据补集的概念，?RB＝{x|x≥2m}．
又∵A??RB，∴2m≤2.
解得m≤1，故m的值可以是1.]
11．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A?B成立的所有a组成的集合为( )
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．?
C [当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝??B；
当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠?，
要使A?B，需有解得2≤a≤7.
综上可知，a≤7.]
12．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )
C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(?UB)＝________.
{x|x≤1} [∵B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}，则A∪(?UB)＝{x|x≤1}．]
14．命题“?1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
{a|a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1.]
15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
充分不必要 [由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A?B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]
16．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
18 [当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；
当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.
即A⊙B＝{0,6,12}．
故集合A⊙B的所有元素之和为18.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2[解] 结合数轴，由图可知?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
又∵A∩B＝{x|－2∴?R(A∩B)＝?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴(?RA)∩B＝{x|－319．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．
(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；
(2)条件p：A?B，结论q：A∪B＝B.
[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，
所以a，b至少有一个大于0，所以pq.
反之，若ab＞0，可推出a，b同号．
但推不出a＋b＞0，即qp.
综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
(2)因为A?B?A∪B＝B，所以p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即qp，
所以p为q的充分不必要条件．
20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(2)由A?B，知解得m≤－2，
即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠?.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．
[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A?B.
∴
解得a的取值范围为≤a≤2.
(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠?，
∴a＞0.
若A∩B＝?，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.
22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，
即＜.
必要性：由＜，得－＜0，即＜0.
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.
所以＜的充要条件是xy＞0.
法二：＜?－＜0?＜0.
由条件x＞y?y－x＜0，故由<0?xy＞0.
所以＜?xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0.
