一元二次方程根与系数的关系
【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜2且k≠1 B．k＜2且k≠0
C．k＞2 D．k＜－2
A [∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0，
解得：k＜2且k≠1，故选A.]
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝?－2?2－4?k－1?×1＞0.
1．若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
D [∵m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，
∴m＋n＝－1，mn＝－2，则m＋n－mn＝－1－(－2)＝1，故选D.]
方程组的解集
【例2】 如果关于x，y的二元一次方程组的解为则方程组的解集为( )
A．{(x，y)|(2,1)} B．{(x，y)|(2,3)}
C．{(x，y)|(2,2)} D．{(x，y)|(1,2)}
C [由方程组
得
根据题意知，即，解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C.]
求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.
2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种( )
A．10 B．9 C．12 D．11
B [设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本，
依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500，
整理，得2a＋b＝20.
①当b＝2时，a＝9，
②当b＝4时，a＝8.
③当b＝6时，a＝7.
④当b＝8时，a＝6.
⑤当b＝10时，a＝5.
⑥当b＝12时，a＝4.
⑦当b＝14时，a＝3.
⑧当b＝16时，a＝2.
⑨当b＝18时，a＝1.
则不同的购书方案有9种．
故选B.]
一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.
[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以
(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
(2)当a＝－1时，原不等式解集为?；
(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.
2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1，a＞0??]
不等式恒成立问题
【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
(1)－＜m＜0 [由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－＜m＜0.]
(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．
由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：
?1?变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
?2?转化法求参数范围
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，
则①y≥k恒成立?ymin≥k即m≥k；
②y≤k恒成立?ymax≤k即n≤k.
4．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1
[解] ∵1∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>.
令y＝，且1则y＝＝－22＋≤，
当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值，
∴a>即为所求．
课件25张PPT。第二章 等式与不等式章末复习课一元二次方程根与系数的关系方程组的解集一元二次不等式的解法不等式恒成立问题Thank you for watching !章末综合测评(二) 等式与不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＜ B.＞
C．a＞b2 D．a2＞2b
C [取a＝2，b＝－，满足a＞1＞b＞－1，但＞，故A错；取a＝2，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但＜，故B错；取a＝，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]
2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞＞ B.＞＞a
C.＞＞a D.＞a＞
C [∵a＜0，b＜－1，∴＞0，b2＞1，∴＜1.
又∵a＜0，∴0＞＞a，∴＞＞a.
故选C.]
3．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
C [不等式－x2－x＋2≥0可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，所以－2≤x≤1，即解集为{x|－2≤x≤1}．]
4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
B [由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]
5．下列方程，适合用因式分解法解的是( )
A．x2－4x＋1＝0 B．2x2＝x－3
C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
C [C中方程化简后可以用因式分解法求解．]
6．求方程组的解集时，最简便的方法是( )
A．先消x得
B．先消z得
C．先消y得
D．得8x－2y＋4z＝11，再解
C [第一个方程中没有y，所以消去y最简便．]
7．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5
D [依题意有(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]
8．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴＋＝＝＝3，解得k＝2.
经检验，k＝2满足题意．]
9．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )
A．200台 B．150台
C．100台 D．50台
B [要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]
10．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D．a＜b＜＜
B [因为0＜a＜b，所以由均值不等式可得＜，且＜＝b，又a＝＜，所以a＜＜＜b.]
11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．a＋b＋c≤
C.＋＋≤2 D．(a＋b＋c)2≥3
D [由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A错；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故C项错误．]
12．若x＞1，则4x＋1＋的最小值等于( )
A．6 B．9 C．4 D．1
B [由x＞1，得x－1＞0，于是4x＋1＋＝4(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时，等号成立．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________.
－15 [∵{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组的解集，∴解得
∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]
14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(－∞，m)∪(1，＋∞)，则m＝________.
－3 [由已知可得a＜0且1和m是方程ax2－6x＋a2＝0的两根，于是a－6＋a2＝0，解得a＝－3，代入得－3x2－6x＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m＝－3.]
15．若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－1,3) [依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]
16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
[9，＋∞) [∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
∴ab－2－3≥0，即(－3)(＋1)≥0，
∴－3≥0，即≥3，∴ab≥9.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.
[解] (1)原不等式可化为x2＋x＋＜4，
化简，得x2＋2x－5＜0.
因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，
所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，
开平方，得|x＋1|＜，
解得－－1＜x＜－1.
所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}．
(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，
因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，
解得－≤x≤4，
所以原不等式的解集为.
18.(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
[解] 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.∵x，y为正实数，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
＝10＋2≥10＋2×2×＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时，取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为0≤a≤1.
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，解集为?；
当20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
[解] (1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.
又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.
由题可知x1＋x2＝，x1x2＝.
∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，
∴＝4＋，解得a＝24.经检验，符合题意．
∴存在实数a，a的值为24.
(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝.∵为负整数，∴整数a的值应取7,8,9,12.
21．(本小题满分12分)已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解] 法一：由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－＜0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．
又∵0＜α＜β，∴0＜＜，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为x或x＞，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x或x＞.
法二：由题意知a＜0，
由cx2＋bx＋a＜0，得x2＋x＋1＞0.
将法一中的①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
即(αx－1)(βx－1)＞0.
又∵0＜α＜β，∴0＜＜.
∴所求不等式的解集为.
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤
＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．
