1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的含义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．
2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
1．元素与集合的相关概念
(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，常用英文大写字母A，B，C，…表示．
(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，常用英文小写字母a，b，c，…表示．
(3)集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175 cm的男生能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175 cm的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A.
3．空集
我们把不含任何元素的集合称为空集，记作?.
4．常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2019年入学的全体学生
D [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.]
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．用“∈”或“?”填空：
________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.
[答案] ? ∈ ? ? ∈
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.
3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]
集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B.
(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.]
判断元素与集合关系的两种方法
?1?直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
?2?推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0,1,2 [∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
集合中元素的特性及应用
[探究问题]
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
提示：a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
提示：a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[思路点拨]
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
1．思考辨析
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
C [∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C.的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]
4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.
课件38张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的含义对象A，B，C，…对象a，b，c，…相同确定性互异性无序性?a属于Aa∈Aa不属于Aa?AQ整数集实数集NN*或N＋ 集合的基本概念元素与集合的关系集合中元素的特性及应用点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 集合的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法．(重点)
2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)
1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养．
2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.
1．集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
思考1：观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.
问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
思考2：观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
2．区间的概念
设a，b是两个实数，且a＜b：
(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；
(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；
(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间；
(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)；
(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集
合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
1．下列判断错误的是( )
A．方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示
B．不大于2 020的自然数构成的集合是无限集
C．集合A＝是空集
D．{x︱x2 ＝0}＝{0}
B [A.正确；方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示，即A＝{x|x2＝9}＝{－3,3}．
B．错误；因为不大于2 020的自然数依次为0,1,2，…，2 020，共有2 021个，所以构成的集合是有限集．
C．正确；因为0的倒数不存在，任何非零实数的倒数都不是0，所以集合A＝是空集．
D．正确，x2 ＝0，可得x＝0，故选B.]
2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{ x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
D [解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，
故集 合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
3．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________.
[答案] [2，＋∞) (2)(3,4]
4．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)偶数可用式子x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐 标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解．
(1)B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合的步骤
?1?求出集合的元素；
?2?把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
?3?用大括号括起来.
1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
[解] 对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．
用描述法表示集合
【例2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用
角度一 方程、不等式问题
【例3】 若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝( )
A. －4 B. 0 C. 4 D. 0或－4
A [依题意，得关于x的方程ax2＋ax－1＝0只有一个实根，所以即解得a＝－4，选A.]
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即a(a－4)＜0，依题意，得或解得0角度二 对参数分类讨论问题
【例4】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合．
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，A中有且只有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．
当a＝0时，对应方程为一次方程，
此时A＝，符合题意；
当a≠0时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意．
综上所述，a的取值集合为{0,1}．
(2)由题意知，A中至多有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
即A中无元素，符合题意．
综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
识别集合含义的两个步骤
?1?一看代表元素：例如{x|p?x?}表示数集，{?x，y?|y＝p?x?}表示点集.
?2?二看条件：即看代表元素满足什么条件?公共特性?.
提醒：一般地，集合{x|f?x?＝0}表示方程f?x?＝0的解集；,{x|f?x?＞0}表示不等式f?x?＞0的解集；,{x|y＝f?x?}表示y＝f?x?中x的取值的集合；,{y|y＝f?x?}表示y＝f?x?中y的取值的集合.
4．若A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}＝?，求a的取值范围．
[解] 因为A＝?，则集合A无元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，所以a≠0，且Δ＜0，即解得a＞1，所以a的取值范围为{a|a＞1}．
1．?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．
1．下列说法正确的是( )
A．0∈? B．?＝{0}
C．?中元素的个数为0 D．?没有子集
C [空集是不含任何元素的集合，故?中元素的个数为0.]
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
C [x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1且x≠2}＝________.
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
课件45张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示方法一一列举 {x|p(x)} (a，b][a，b](a，b)[a，b)[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)正无穷大负无穷大(－∞，＋∞)用列举法表示集合用描述法表示集合集合的表示法的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
B [B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.∈M B．0?M
C．1∈M D．－∈M
D [>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C. D.
D [由题意知a应为无理数，故a可以为.]
4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D.]
5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
A [由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]
二、填空题
6．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“?”)．
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B.]
7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
{k|k≠±1} [∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.]
8．用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B,1＋________B；
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D.
(1)? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈ [(1)∵2＝>，∴2?B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋∈B.
(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3?C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.
(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，则－1是数，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.]
三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
[解] ∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
[解] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由(1)知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
[等级过关练]
1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M B．0∈M
C．－1∈M D．－2∈M
C [由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.
所以方程为x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
故方程的另一根为－1.选C.]
2．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
A [当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，此时集合共有2个元素，
当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素，
当x<0时，＝|x|＝－x，－＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，
故选A.]
3．已知集合P中元素x 满足：x∈N，且26 [∵x∈N,2∴结合数轴(图略)知a＝6.]
4．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
3 [当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2.
当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2.
当a，b异号时，＋＝0.
∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]
5．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
[解] 根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；
由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
课时分层作业(二) 集合的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．将集合A＝{x|1＜x≤3}用区间表示正确的是( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．[1,3) D．[1,3]
B [集合A为左开右闭区间，可表示为(1,3]．]
2．集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}中的元素个数为( )
A．2 018 B．2 019
C．2 020 D．2 021
D [因为集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}＝{x∈N︱x≤2 020}＝{0,1,2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]
3．集合用描述法可表示为( )
A.
B.
C.
D.
D [由3，，，，即，，，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为xn∈N*.]
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
D [集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．]
5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A．4 B．5 C．19 D．20
C [由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.]
二、填空题
6．集合用列举法可表示为________．
{2,3,5,9} [因为集合，
故x－1为8的正约数，即x－1的值可以为1,2,4,8，所以x可以为2,3,5,9.用列举法表示为{2,3,5,9}．]
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
{－1,4} [∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．]
三、解答题
8．下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R.
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图像．
9．设P，Q为两个非空实数集，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
[解] 当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得 a＋b的值分别为6,7,11.由集合中元素的互异性知 P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
[等级过关练]
1．已知集合M＝，N＝x＋，k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是( )
A．x0∈N B．x0?N
C．x0∈N或x0?N D．不能确定
A [M＝，N＝，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
2．已知x，y为非零实数，则集合M＝m＋＋为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
C [当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
3 [根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．]
4．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.
6 [用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.]
5．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
[解] 数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N，而＝1.5?N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5?Z，
故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和、差、积、商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集，同理R是闭集.
