(新教材)人教B版数学必修第一册 1.1.2 集合的基本关系

文档属性

名称 (新教材)人教B版数学必修第一册 1.1.2 集合的基本关系
格式 zip
文件大小 3.2MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2019-09-20 18:15:21

文档简介

1.1.2 集合的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义.(重点)
2.能识别给定集合的子集、真子集.
3.了解维恩图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系.
1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集,真子集概念的理解,培养数学抽象素养.
2.借助子集和真子集的求解,培养数学运算及逻辑推理的数学素养.
3.利用Venn图,培养直观想象数学素养.
1.维恩图
一般地,如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图称为维恩图.
维恩图的优点及其表示
(1)优点:形象直观.
(2)表示:通常用封闭曲线的内部代表集合.
2.子集、真子集、集合相等的相关概念
思考:(1)任何两个集合之间是否有包含关系?
(2)符号“∈”与“?”有何不同?
提示:(1)不一定,如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系;
而“?”表示集合与集合之间的关系.
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.
(2)对于集合A,B,C.
①若A?B,且B?C,则A?C;
②若A?B,B?C,则A?C.
③若A?B,A≠B,则A?B.
1.下列集合中与{2,3}是同一集合的是(  )
A.{{2},{3}}   B.{(2,3)}
C.{(3,2)} D.{3,2}
D [与{2,3}是同一集合的是{3,2}.故选D.]
2.下列命题:
①空集没有子集;
②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若??A,则A≠?.其中正确的个数是(  )
A.0    B.1 C.2    D.3
B [在①中,空集的子集是空集,故①错误;
在②中,空集只有一个子集,还是空集,故②错误;
在③中,空集是任何非空集合的真子集,故③错误;
在④中,若??A,则A≠?,故④正确.故选B.]
3.已知集合P={x|0≤x≤2},且M?P,则M可以是(  )
A.{0,1} B.{1,3}
C.{-1,1} D.{0,5}
A [A.0∈P,1∈P,则M?P成立,
B.3?P,则M?P不成立,
C.-1?P,则M?P不成立,
D.5?P,则M?P不成立,
故选A.]
4.已知集合A?{2 018,2 019},则这样的集合A共有________个.
3 [满足A?{2 018,2 019}的集合A为:?,{2 018},{2 019},共3个.]
理解子集、真子集、空集的概念
【例1】 已知集合A={x|x2-x=0},B={x|ax=1},且A?B,求实数a的值.
[解] A={x|x2-x=0}={0,1}.
(1)当a=0时,B=??A,符合题意.
(2)当a≠0时,B={x|ax=1}=,
∵≠0,要使A?B,只有=1,即a=1.
综上,a=0或a=1.
集合A的子集可分三类:?、A本身、A的非空真子集,解题中易忽略?.
1.已知集合A={x|1[解] (1)当2a-3≥a-2,即a≥1时,B=??A,符合题意.
(2)当a<1时,要使A?B,需这样的实数a不存在.
综上,实数a的取值范围是{a|a≥1}.
集合的子集、真子集的确定
【例2】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集;
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有多少个子集?多少个真子集?验证你的结论.
[解] (1)?,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集.如?,有一个子集,0个真子集.
为了罗列时不重不漏,要讲究列举顺序,这个顺序有点类似于从1到100数:先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是1的等等.
2.适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(  )
A.15    B.16    C.31    D.32
A [这样的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5}共15个.]
集合间关系的应用
【例3】 (1)下列各式中,正确的个数是(  )
①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)指出下列各组集合之间的关系:
①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
(1)B [对于①,是集合与集合的关系,应为{0}?{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以??{0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确的,应选B.]
(2)[解] ①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A?B.
③法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N?M.
法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N ?M.
判断集合间关系的方法
?1?用定义判断.,首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A?B,否则A不是B的子集;,其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B?A,否则B不是A的子集;,若既有A?B,又有B?A,则A=B.
?2?数形结合判断.,对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
3.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是(  )
B [解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N?M,其对应的维恩图如选项B所示.]
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=?时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中,A?B首先要满足A?B,其次至少有一个x∈B,但x?A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.
集合的子集、真子集个数的规律为:含n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身易漏掉.
1.下列集合中,结果是空集的是(  )
A.{x∈R|x2-1=0}  B.{x|x>6或x<1}
C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}
D [A.{x∈R|x2-1=0}={1,-1},
B.{x|x>6或x<1}不是空集,
C.{(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},
D.{x|x>6且x<1}=?,故选D.]
2.集合P={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则P与T的关系为(  )
A.P?T B.P∈T
C.P=T D. PT
A [集合P={x|x2-1=0}={-1,1},T={-1,0,1},∴P?T,故选A.]
3.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的维恩图是(  )
B [由N={x|x2+x=0},得N={-1,0}.∵M={-1,0,1},∴N?M,故选B.]
4.已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围________.
[4,+∞) [∵集合A={x|-1<x<4},B={x|x<a},A?B,
∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4,+∞).]
课件36张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.2 集合的基本关系内部封闭封闭曲线理解子集、真子集、空集的概念集合的子集、真子集的确定集合间关系的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 集合的基本关系
(建议用时:60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.设A={a,b},B={x|x∈A},则(  )
A.B∈A       B.B?A
C.A∈B D.A=B
D [因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,
所以B={a,b},因此A=B.]
2.若集合A={x|x=n,n∈N},B=,则A与B的关系是(  )
A.A?B B.B?A
C.A=B D.A∈B
A [A={0,1,2,…},B=…,-1,-,0,,1,,2,…,集合A中任意一个元素均在集合B中.]
3.集合U,S,T,F的关系如图所示,下列关系正确的是(  )
①S∈U;②F?T;③S?T;④S?F;⑤S∈F;⑥F?U.
A.①③ B.②③
C.③④ D.③⑥
D [元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错;子集的区域要被全部涵盖,故②④错.]
4.设B={1,2},A={x|x?B},则A与B的关系是(  )
A.A?B B.B?A
C.B∈A D.A=B
C [∵A={x|x?B},∴A={?,{1},{2},{1,2}},∴B∈A.]
5.设A={x|1A.a≤2 B.a≤1
C.a≥1 D.a≥2
D [∵A?B,∴a≥2.]
二、填空题
6.已知M={x|x≥2,x∈R},给定下列关系:①π∈M;②{π}?M;③π?M;④{π}∈M.其中正确的有________.(填序号)
①② [①②显然正确;③中π与M的关系为元素与集合的关系,不应该用“?”符号;④中{π}与M的关系是集合与集合的关系,不应该用“∈”符号.]
7.如图反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:
A为________;B为________;
C为________;D为________.
小说 文学作品 叙事散文 散文 [由维恩图可得A?B,C?D?B,A与D之间无包含关系,A与C之间无包含关系.由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系,可得A为小说,B为文学作品,C为叙事散文,D为散文.]
8.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q?P,那么a的值是________.
0,±1 [P={-1,1},Q?P,所以
(1)当Q=?时,a=0.
(2)当Q≠?时,Q=,
所以=1或=-1,解之得a=±1.
综上知a的值为0,±1.]
三、解答题
9.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
[解] 从集合相等的概念入手,寻找元素的关系,必须注意集合中元素的互异性.因为A=B,则 x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中 元素的互异性,故舍去.
②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由①知x=0应舍去.
综上,x=1,y=0.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0[解] 先用列举法表示集合A,B.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
[等级过关练]
1.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?,B?A,则(a,b)不能是(  )
A.(-1,1)       B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(1,1)
B [当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;
当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;
当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合.]
2.已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 019+b2 019的值为(  )
A.-2   B.-1 C.1   D.2
B [集合={a2,a+b,0},分母a≠0,
∴b=0,a2=1,且a2≠a+b,解得a=-1.∴a2 019+b2 019=-1.故选B.]
3.已知集合A?{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个.
5 [若A中有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2},
若A中有2个奇数,则A={1,3}.]
4.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},若B?A,则m的取值范围为________.
(-∞,1] [集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},
若B?A,则A集合应含有集合B的所有元素,讨论B集合:
(1)当B=?时,-m≥m,即:m≤0.
(2)当B≠?时,则由数形结合可知:需B集合的端点满足:①-m<m,②-1≤-m,③m≤3,三个条件同时成立.
解得:0<m≤1.
综上,由(1)(2)可得实数m的取值范围为:m≤1.]
5.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(2)若A?B,求m的取值范围.
[解] 化简集合A得A={x|-2≤x≤5}.
(1)∵x∈Z,
∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
即A中含有8个元素,
∴A的非空真子集个数为28-2=254(个).
(2)①当m≤-2时,B=??A;
②当m>-2时,
B={x|m-1因此,要使B?A,
则只要
∴-1≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是:
{m|-1≤m≤2或m≤-2}.