1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解命题的含义，并会判断其真假.
2．理解全称量词与全称量词命题的定义．
3．理解存在量词与存在量词命题的定义 .
4．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“?，?”)来表述相关的数学内容．(重点)
5．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)
1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．
2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.
1．命题
可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
2．全称量词和全称量词命题
(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
3．存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
1．下列语句中，命题的个数为( )
①空集是任何非空集合的真子集； ②起立！ ③垂直于同一平面的两条直线平行吗？ ④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]
2．下列命题中，全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]
3．下列存在量词命题中真命题的个数是( )
①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [①②③都是真命题．]
4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．
[答案] 存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0
命题概念的核心要素
【例1】 (1)下列语句中为命题的是( )
A．m＋n B．{0}∈N
C．函数与图像 D．2x＞3
(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)
①无理数的平方是有理数吗？
②王明同学的素描多么精彩啊！
③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
④请说普通话；
⑤x2－xy＋y2≥0.
(1)B (2)①②④ [(1)只有B选项可判断真假．
(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；
②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；
③⑤是命题，因为它们能判断真假．]
一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：
1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
①④ [②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]
命题真假的判断
【例2】 下列命题是真命题的为( )
A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
B．若＝，则x＝y
C．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
D．若整数m是偶数，则m是合数
B [A中，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；B中，由＝可推出x＝y；C中，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；D中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]
判断命题真假性的两个技巧
(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
2．下列四个命题为真命题的有( )
①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形； ③全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
C [①②③是真命题．]
全称量词和全称量词命题
【例3】 下列命题是全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有立方根； ②所有的质数都是奇数； ③有的平行四边形是矩形； ④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]
全称量词命题的常用表示形式：
?1?所有的 x∈M，r?x?；
?2?对一切x∈M，r?x?；
?3?对每一 个x∈M，r?x?；
?4?任选一个x∈M，r?x?；
?5?任意x∈M，r?x?.
3．下列不是全称量词命题的是 ( )
A．任何一个实数乘零都得零
B．自然数都是整数
C．高一(1)班绝大多数同学是团员
D．每一个四边形的内角和都是180°
C [“高一(1)班绝大多数同学是团 员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]
存在量词和存在量词命题
【例4】 下列命题中存在量词命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数； ②?x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四边形是菱形．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [①中含有存在量词“至少有一个”， 所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号 “?”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词 “有的”，所以是存在量词命题．]
存在量词命题的常用表示形式：?1?存在 x∈M，s?x?；?2?至少有一个x∈M，s?x?；?3?对有些x∈M，s?x?；?4?对某个x∈M，s?x?；?5?有一个x∈M，s?x?.)
4．下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．整数n是2和5的倍数
B．存在整数n，使n能被7整除
C．x＞7
D．?x∈M，p(x)成立
B [B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题. ]
全称量词命题和存在量词命题的改写
【例5】 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x, x2＋x＋1是有理数．
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
1．判断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要根据命题中所含量词来判断．
2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称量词命题．
5．用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【例6】 试判断下面命题的真假．
(1)?x∈R，x2＋2＞0;
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈Z，x3＜1；
(4)?x∈Q，x2＝3.
[解] (1)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“ ?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“?x∈Q，x2＝3”是假命题．
1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题， 只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．判断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．
6．判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x，y)都对应一点P;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解] (1)真命题. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．
2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．
4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．]
2．下列命题是存在量词命题的是( )
A．对顶角相等
B．正方形都是四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于1
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]
3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题， 又是真命题，故选B.]
4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
①③ [①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]
课件46张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词任意?全称量词?x∈M，p(x)个体部分?存在量词?x∈M，p(x)命题概念的核心要素命题真假的判断全称量词和全称量词命题存在量词和存在量词命题全称量词命题和存在量词命题的改写全称量词命题和存在量词命题的真假判断点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 命题与量词
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A．2 019是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？
D．a≤15
B [A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．]
2．下列命题是假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②{x∈N|x3＋1＝0}不是空集；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④若整数m是偶数，则m是合数．
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．]
3．“存在集合A，使?? A”，对这个命题，下面说法中正确的是( )
A．全称量词命题，真命题
B．全称量词命题，假命题
C．存在量词命题，真命题
D．存在量词命题，假命题
C [当A≠?时，?? A，是存在量词命题， 且为真命题．]
4．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．一次函数在定义域上是单调函数
D [A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．故选D. ]
5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
C [方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0，即a2＜4，故当a＝0时适合条件．]
二、填空题
6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)
②④ ①③ [①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．]
7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数x0，使x＋x0＋1＜0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．
①③④ [①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；
②对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋＞0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1＜0，为假命题； ③当实数a大于0时，结论成立，为真命题； ④如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.]
8．命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
0 [对于方程x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．]
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈R，(x＋1)2≥0；
(4)x∈R，x2＜2.
[解] (1)命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题．(3)命题中含有全称量词“?”，是全称量词命题．(4)命题中含有存在量词“?”，是存在量词命题．
10.若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为ax2－2ax－3＞0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0].
[等级过关练]
1．下列语句中为命题的是( )
A．m＋n B．{0}∈N
C．函数与图像 D．2x＞3
B [只有B选项可判断真假．故选B.]
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定垂直，不正确，是假命题．]
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
A [当a≤0时，显然存在x0∈R，
使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，由Δ＝4－4a2＞0，
解得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.]
4．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若ab＝0，则a2＋b2＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若M∩N＝M，则N?M.其中假命题的个数是________．
4 [①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；③当c＝0时不成立；④M∩N＝M，说明M?N.]
5．已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围．
[解] ∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴实数a的取值范围为.
