1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点)
2．会判断充分条件、必要条件．(重点)
3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p?q.(2)等价．
2．充分条件与必要条件的判断
3.充分条件、必要条件与集合的关系
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
思考2：“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件．
提示：充分 必要
1．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
A [由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．]
2．“x＝1”是“x2－1＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是“x2－1＝0”的充分不必要条件．]
3．“ △ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [若△ABC三边关系满足a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的必要条件．]
4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空)
必要 充分 [由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
(2)若函数y＝x，则函数为递增的；
(3)若x为无理数，则x2为无理数；
(4)若x＝y，则x2＝y2；
(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(6)若a>b，则ac>bc.
[解] (1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－ 4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件．
(2)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵pq，而q?p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(5)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(6)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件．
本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
1．指出下列命题中p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sin α>sin β，q：α>β.
[解] (1)∵x2＝2x＋1D/?x＝，
x＝?x2＝2x＋1，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0D/?a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．
(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
充分条件、必要条件与集合的关系
【例2】 若“x2>1”是“x
[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1.
又∵“x2>1”是“x∴x1但x2>1D?/x ∴a≤－1，∴a的最大值为－1.
例2中“xa”，其他条件不变，求a的最小值．
[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1，
∵“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，
∴x>a?x2>1，但x2>1D/?x>a.如图所示：
∴a≥1，∴a的最小值为1.
设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集.
充分条件和必要条件的应用
【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2 C．4 D．16
(2)已知p：－4(1)B (2)[－1,6] [(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．
(2)化简p：a－4应用充分条件和必要条件的两个思路
?1?条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论.
?2?p?q和q?p的应用：充分条件确保p?q为真，必要条件确保q?p为真.
2．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
[解] 由3x＋m<0得，x<－.
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q p，
∴A是B的真子集，
∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
2．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
4．有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中可以成为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
②③④ [由x2＜1，得－1＜x＜1.故②③④都可作为x2＜1的充分条件．]
课件38张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件? 充分 必要 充分 必要 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件与集合的关系充分条件和必要条件的应用点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 充要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充要条件的概念．(难点)
2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)
3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.
1．充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(1)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(2)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是( )
A．p：a＝0，q：ab＝0 B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0
C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b|
B [A.a＝0?ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；
B．a＝b?(a－b)2＝0，故B正确；
C．若|a|＝1，可得a＝±1，|a|＝1，推不出a＝1，故C错误；
D．若|a|＝|b|，可得a＝±b，故D错误．故选B.]
2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
A [∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A.]
3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]
4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是＜的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)
①②③ [①由不等式的性质易得a＞b＞0?a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.
②由不等式的性质易得a＞b＞0?＜，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.
③由不等式的性质易得a＞b＞0?a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.]
充要条件的判断
【例1】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(3)p：x>5，q：x>10；
(4)p：a>b，q：a2>b2.
[解] 命题(1)中，p?q，但qp，故p不是q的充要条件；
命题(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件；
命题(3)中，pq，但q?p，故p不是q的充要条件；
命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．
充要条件判断的两种方法
(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
C [对于结论①，∵x＞2?x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故④正确．]
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则A?B，若p是q的必要不充分条件，则B?A.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
提示：若M?N，则p是q的充分条件；若N?M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨]
[9，＋∞) [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
?1?化简p，q两命题；
?2?根据p与q的关系?充分、必要、充要条件?转化为集合间的关系；
?3?利用集合间的关系建立不等式；
?4?求解参数范围.
2．已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1,5].
有关充要条件的证明或求解
【例3】 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[证明] 先证充分性：若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，
必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
充要条件的证明策略
?1?要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
?2?在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”. ]
2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0.由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]
3．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [∵y＝x2＋mx＋1＝2＋1－，
∴函数的图像的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，
∴m＝－2.]
4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．
0＜x＜1 [由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.]
课件39张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件充要条件p?qq?p互为充要充分必要充要充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件的应用有关充要条件的证明或求解点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 充分条件与必要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是( )
A．a＞b B．a＞b－1
C．a＞b＋1 D．a2＞b 2
C [a＞b＋1＞b，反之不成立，所以选C.]
2．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.＜－1
A [a＋b<0D/?a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.]
3．设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞ 2”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若a＞2，b＞2，则a＋b＞4，但当a＝4, b＝1时也有a＋b＞4，故选B.]
4．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|＜1，q：x＜0
D．p：x2＞2，q：x＞ 2
A [由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．]
5．设x∈R，则“x>”是“x＜－1或x＞”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [“x＞”是“x＜－1或x＞”的充分不必要条件．]
二、填空题
6．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．]
7．设集合M＝{x|0必要 [因为N?M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
8．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________．
(－∞，1] [p：x＞1，若p是q的充分条件，则p?q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]
三、解答题
9.指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(2)p：a[解] 在(1)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)·(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(2)中，若a10．已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)设命题p：A＝{x|x－2＞0}，即A＝{x|x＞2}，
命题q：B＝{x|ax－4＞0}，
因为p是q的充分不必要条件，
则A?B，
即，解得a＞2，
所以a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)由(1)得：B?A，
①当a＝0时，B＝?，满足题意；
②当a＞0时，由B?A得：＞2，即0＜a＜2；
③a＜0时，显然不满足题意，
综合①②③得：实数a的范围是(0,2]．
[等级过关练]
1．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
B [对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．]
2.命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
C [命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.]
3．已知p：－4－1≤a≤6 [化简p：a－44．已知命题p：1－c＜x＜1＋c(c＞0)，命题q：x＞7或x＜－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．
(0，＋∞) [命题p对应的集合A＝{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x＞7或x＜－1}．
因为p是q的既不充分又不必要条件，
所以A∩B＝?或A不是B的子集且B不是A的子集，
所以①或②
解①得c≤2，解②得c≥－2.
又c＞0，综上得c＞0.]
5．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
课时分层作业(九) 充要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由A∩B＝A可知A?B；反过来A?B，则A∩B＝A，故选C.]
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C.充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当a＝3时，A＝{1,3}，所以A?B，即a＝3能推出A?B；
反之当A?B时，a＝3或a＝2，所以A?B成立，推不出a＝3.
故“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故选A.]
3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A?B”是“a＞5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为|x|≤4?－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A?B，所以a≥4，故选B.]
4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
D [a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]
5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
二、填空题
6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
7．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3由p是q的充分不必要条件知
{x|x<3}?，
所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]
8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．
乙 [对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，
∴A是B的充分不必要条件．
对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，
∴A是B的充要条件．
对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，
∴A是B的必要不充分条件．
对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，
∴A是B的既不充分也不必要条件．]
三、解答题
9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足?0＜a≤.
综上，若方程至少有一个负实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负实根．
10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明] 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0.
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[等级过关练]
1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈CD/?x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max，，·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
3或4 [x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]
4．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，
所以解得0≤a≤.]
5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
[解] “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
