2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解且会运用等式的性质．(重点)
2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)
3．会求方程的解集．(重点)
1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．
2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.
1．等式的性质
性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c.
性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)．
2．恒等式
(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．
(2)一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.
(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
D [A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时与无意义，故C错误；故选D.]
2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A [(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4个算式都错误．故选A.]
3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则2A－3B等于( )
A．－x3＋6x2 B．5x3＋6x2
C．x3－6x D．－5x3＋6x2
B [依题意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故选B.]
4．x2－4的因式分解的结果是( )
A．(x－2)2 B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2 D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选B.]
等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有( )
A．①②③ B．④⑤⑥
C．①③⑤ D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C.]
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件.
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
B [A.两边加不同的数，故A不符合题意；
B．两边都乘以c，故B符合题意；
C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]
恒等式的化简
【例2】 化简：
(1)(3a－2)－3(a－5)；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.
2．计算：
(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;
(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；
(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．
[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.
(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.
(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
【例3】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.
[解] (1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为
所以：原式＝(x－2)(x－8)．
常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
3．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D.]
方程的解集
【例4】 求下列方程的解集．
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集为.
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
?1?移项，将一元二次方程的右边化为0；
?2?化积，利用提取公因式法、公式法等将一 元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；
?3?转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程
?4?求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；
?5?将其解写成集合的形式.
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的 一个根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]
1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的变换．
2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解．
3．方程的解集要写成集合的形式．
1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b D．－＝－
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－＝－，正确，不合题意．故选C.]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2m B．3n＋m
C．3n－m D．3n＋2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]
3．下列方程的解正确的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B.x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝(x－3)的解集是{3}
D．－x＝2的解集是
B [方程x－3＝1的解是x＝4，x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝(x－3)的解是x＝－7，－x＝2的解是x＝－6，故选B.]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
[由2x－1＝0，解得x＝，方程的解集是.]
课件39张PPT。第二章 等式与不等式2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集b÷cb±cb×c(a＋b)x ab 解集 等式性质的应用恒等式的化简方程的解集点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 等式的性质与方程的解集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是( )
A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay
A [A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；
B．∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；
C．∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；
D．∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.]
2.在式子：2x－3y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是( )
A．y＝2x＋6 B．y＝x－2
C．x＝y＋3 D．x＝3y＋2
B [方程2x－3y＝6，解得：y＝x－2.故选B.]
3．下列计算正确的是( )
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
B [A项，去括号合并同类项得：8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本选项错误；
B项，去括号合并同类项得：5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本选项正确；
C项，去括号合并同类项得：2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y，故本选项错误；
D项，去括号合并同类项得：3m－2n－4m＋5n＝3m－4m－2n＋5n＝－m＋3n≠m＋3n，故本选项错误．故选B.]
4．若关于x的方程ax＋3x＝2的解是x＝，则a的值是( )
A．－1 B．5 C．1 D．－5
B [把x＝代入方程ax＋3x＝2得：a＋＝2，
∴a＋3＝8，∴a＝5，故选B.]
5．下列解方程过程中，变形正确的是( )
A．由5x－1＝3得5x＝3－1
B．由－75x＝76得x＝－
C．由x－3(x＋4)＝5得x－3x－4＝5
D．由2x－(x－1)＝1得2x－x＝0
D [选项A，移项没有变号，故变形不正确；
选项B等号的左边除以了－75，而等号的右边除以了－76，故变形错误；
选项C去括号时，4没有乘－3，故变形错误；
选项D的变形正确．故选D.]
二、填空题
6．已知4m＋2n－5＝m＋5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m________n(填“＞”“＜”或“＝”)．
＞ [等式的两边都减去(m＋5n－5)，得3m－3n＝5，
等式的两边都除以3，得m－n＝，∴m＞n.]
7．已知x＝2是关于x的方程x2－2a＝0的一个解，则2a－1的值是________．
5 [∵x＝2是关于x的方程x2－2a＝0的一个解，
∴×22－2a＝0，即6－2a＝0，则2a＝6，∴2a－1＝6－1＝5.]
8．若A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，则2A－3B＝________.
－x2－5 [∵A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，
∴2A－3B＝2x2－6x－2－3x2＋6x－3＝－x2－5.]
三、解答题
9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定＝ad－bc，如＝1×4－2×3.若＝3，求x的值．
[解] ∵＝3，
∴3(2x＋1)－2(2x－1)＝3，
去括号，得6x＋3－4x＋2＝3，
移项，得6x－4x＝3－3－2，
合并同类项，得2x＝－2，
系数化为1，得x＝－1.
10．已知关于x的方程6－x＝与a－2(x－4)＝5a有相同的解集，求a的值．
[解] 6－x＝，去分母得12－2x＝x＋3，移项、合并得－3x＝－9，解得x＝3，把x＝3代入a－2(x－4)＝5a中，得a＋2＝5a，解得 a＝.
[等级过关练]
1．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.]
2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为( )
A．6ab＝2a·3b
B．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10
C．x2－8x＋16＝(x－4)2
D．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
C [A项，不是因式分解，故本选项错误；B项，不是因式分解，故本选项错误；C项，是因式分解，故本选项正确；D项，不是因式分解，故本选项错误．故选C.]
3．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，则代数式(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)＝________.
－34 [∵a2＋b2＝6，ab＝－2，
∴原式＝4a2＋3ab－b2－7a2＋5ab－2b2＝－3(a2＋b2)＋8ab＝－18－16＝－34.]
4．已知x2－5xy－6y2＝0(y≠0且x≠0)，则的值为________．
6或－1 [x2－5xy－6y2＝0，(x－6y)(x＋y)＝0，所以x－6y＝0或x＋y＝0，
所以x＝6y或x＝－y，所以的值为6或－1. ]
