2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点)
2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点)
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点)
1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养．
2．通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.
1．一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
2．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
(3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b, c的值代入式子x＝中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
3．一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
1．一元二次方程x2－16＝0的解集是( )
A．{－8,8} B．{－4}
C．{4} D．{－4,4}
D [利用直接开平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4，故选D.]
2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是( )
A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21
C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11
D [x2－8x＋5＝0，x2－8x＝－5，x2－8x＋16＝－5＋16，(x－4)2＝11，故选D.]
3．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是( )
A．5、6、－8 B．5、－6、－8
C．5、－6、8 D．6、5、－8
C [原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5, b＝－6，c＝8，故选C.]
4．已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝1 B．x1·x2＝－1
C．|x1|＜|x2| D．x＋x1＝
D [根据题意，得x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－，所以A，B选项错误．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误．∵x1为一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2x＋2x1－1＝0，∴x＋x1＝，D选项正确．故选D.]
一元二次方程的解法
角度一 直接开平方法
【例1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[思路点拨] 可将方程转化为x2＝p(p≥0)的形式．再两边开平方进行降次，化为一元一次方程．
[解] (1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－.
所以原一元二次方程的解集是.
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5.
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}．
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
?1?化为x2＝p?p≥0?的形式；?2?直接开平方；?3?解两个一元一次方程，写出方程的两个根；?4?总结写成解集的形式.
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
[解] (1)直接开平方，得x＋1＝±2，
∴x1＝2－1，x2＝－2－1.
∴原一元二次方程的解集是{2－1，－2－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5.
∴x1＝1，x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
角度二 配方法
【例2】 用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解] (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，
即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0?a≠0?，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解?若另一边为负数，则此方程无实数根?.
2．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)2x2－5＋x＝0.
[解] (1)移项，得x2－2x＝－3.
配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2，
即(x－)2＝0.∴x1＝x2＝.
∴原一元二次方程的解集是{}．
(2)移项，得2x2＋x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋＝＋.
∴＝.
∴x＋＝±.
∴x1＝，x2＝，
∴原一元二次方程的解集是，.
角度三 公式法
【例3】 用公式法求下列方程的解集．
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)x2＋x＋＝0.
[思路点拨] 先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根据求根公式求解．
[解] (1)∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，
∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集.
3．用公式法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)3x2＝－6x－1.
[解] (1)将方程化为一般形式为x2－2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是?.
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
∴原一元二次方程的解集是.
一元二次方程的根的判别式
【例4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根．∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有两个相等的实数根．∴方程的解集中有一个元素．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0?a≠0?的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
C [利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．
A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；
C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C.]
一元二次方程的根与系数的关系
【例5】 设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)x＋x；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
[解] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝3.
(1)＋＝＝÷3＝；
(2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝－2×3＝；
(3)(x1－3)(x2－3)
＝x1x2－3(x1＋x2)＋9
＝3－3×＋9
＝－；
(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4×3＝，
∴x1－x2＝±.
利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法
(1)利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2的值；
(2)将所求的代数式变形转化为含x1＋x2，x1x2的代数式的形式；
(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入，求出待求代数式的值．
5．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
B [∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B.]
与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题
【例6】 已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为( )
A．±2 B．±
C．2或3 D．2或3
A [∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0, 解得k＝±2.]
根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.
6．若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
[解] ∵关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，∴a＞－.
1．一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2) 配方法；
(3)公式法．
2．一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.利用这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题．
注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.
1．一元二次方程x2－9＝0的解集是( )
A．{3} B．{－3}
C．{－3,3} D．{－9,9}
C [∵x2－9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，故选C.]
2．一元二次方程x2＝3x的解集是( )
A．{0} B．{3} C．{－3} D．{0,3}
D [x2＝3x，x2－3x＝0，x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D.]
3．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情况是( )
A．为空集 B．只有一个元素
C．有两个元素 D．无法确定元素的个数
B [原方程可化为4x2－4x＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．解集中只有一个元素．故选B.]
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
1,4 [x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4, 即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.]
课件58张PPT。第二章 等式与不等式2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系常数 没有不相等相等一元二次方程的解法一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根与系数的关系 与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
B [A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.]
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
D [A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.]
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素 B．有两个元素
C．为空集 D．不能确定有几个元素
A [∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.]
4．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为( )
A．－1 B．9 C．3 D．27
C [∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2，∴α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C.]
5．已知x＝－1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
A [把x＝－1代入方程2x2＋kx－1＝0，可得2－k－1＝0，即k＝1，故选A.]
二、填空题
6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.
5 15 [将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为＝5.]
7.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
－3 [由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.]
8．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
－1 [∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.]
三、解答题
9．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
[解] x2－2x－＝0，
移项得x2－2x＝，
配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，
开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝－.
①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2－(k＋2)＋＝0，
解得k＝.
②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2＋(k＋2)＋＝0，
解得k＝－7.
当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或.
10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
[解] (1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4.
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，解得m＝0.
当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－.
综上，m＝0或－.
[等级过关练]
1．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
A [由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，x1x2＝即可判断A正确，故选A.]
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，则方程中m的值及方程的另一个根分别是( )
A．1,2＋ B．－1,2＋
C．1，－2－ D．－1，－2－
B [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，设另一根为a，则有x＋a＝4，即2－＋a＝4，解得a＝2＋.
则m＝(2－)(2＋)＝4－5＝－1.故选B.]
3．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
{－1,3} [把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．]
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解集为________．
{－1,3} [根据图像可知，二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像经过点(3,0)，所以该点适合方程y＝－x2＋2x＋m.代入，得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3. ①
把①代入一元二次方程－x2＋2x＋m＝0，得
－x2＋2x＋3＝0，②
解②得x1＝3，x2＝－1，解集为{－1,3}．]
5．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．
[解] (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设x＋＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，
故x＋＝4.
