2.1.3 方程组的解集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)
2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)
3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．
2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．
3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数．
1．用代入法解方程组时，代入正确的是( )
A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4
C [把①代入②得，x－2(1－x)＝4，去括号得，x－2＋2x＝4.故选C.]
2．已知二元一次方程组解集为( )
A．{(x，y)|(2,3)} B．{(x，y)|(3,2)}
C．{(x，y)|(－2,3)} D．{(x，y)|(－2，－3)}
A [
①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A.]
3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝( )
A．{(x，y)|(1,4)} B．{(x，y)|(2,3)}
C．{(x，y)|(3,2)} D．{(x，y)|(4,1)}
C [根据题意，得
由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ]
4．已知那么x－y的值是________．
－1 [两式相减可得结果x－y＝－1.]
二元一次方程组的解集
【例1】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由①，得y＝4－x.③
把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.
解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．
(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}．
法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.
把y＝1代入①得，3x－7×1＝－1，所以x＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.
求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.
1．求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝.
所以原方程组的解集为.
(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③
由③－②，得9x＝144，解得x＝16.
把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－.
所以原方程组的解集为.
三元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)法一：将③分别代入①②，得
解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤
联立④⑤，得解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④
④－②，得4x＋3y＝38，⑤
联立③⑤，得解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
(2)①×2－②，得x＋8z＝11，④
①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
联立④⑤，得解得
把x＝3，z＝1代入①，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,2,1)}．
求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.
2．求方程组的解集．
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5.④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．
待定系数法求函数的解析式
【例3】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．
[思路点拨] 把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．
[解] 根据题意，得
②－①，得a＋b＝2，④
③－①，得4a＋b＝26，⑤
联立④⑤，得解得
把a＝8，b＝－6代入①，得c＝－12.
因此所求函数的解析式为y＝8x2－6x－12.
解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．
[解] 根据题意，得解得
因此所求函数的解析式为y＝－5x2＋8x＋1.
二元二次方程组的解集
【例4】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为.
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
4．求方程组的解集．
[解] ∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，
∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，
∴或
即或
所以原方程组的解集为
.
方程组的实际应用
【例5】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.
5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)
[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只．
根据题意，得
②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝＝25－x.
因为x，y均为正数，所以x一定是4的倍数，且x是小于的正整数，所以x的取值只能为4,8,12.
若x＝4，则y＝18，z＝78；
若x＝8，则y＝11，z＝81；
若x＝12，则y＝4，z＝84.
故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．
1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．
2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.
1．二元一次方程组的解集是( )
A．{(x，y)|(1,2)} B．{(x，y)|(1,0)}
C．{(x，y)|(－1,2)} D．{(x，y)|(1，－2)}
A [由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1,2)}．]
2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
B [根据系数特点，先消去y最简便，故选B.]
3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差( )
A．80毫升 B．110毫升
C．140毫升 D．220毫升
B [设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水 b毫升，丙杯中原有水c毫升，
依题意有
②－①，得b－a＝110，故选B.]
4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
[由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为(答案不唯一)．]
课件50张PPT。第二章 等式与不等式2.1 等式
2.1.3 方程组的解集消元交集二元一次方程组的解集三元一次方程组的解集待定系数法求函数的解析式二元二次方程组的解集方程组的实际应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 方程组的解集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若方程组的解集是{(x，y)|(1，－1)}，则a，b为( )
A. B.
C. D.
B [将x＝1，y＝－1代入方程组，可解得a＝1，b＝0.]
2．已知关于x，y的方程组和有相同的解集，则a，b的值为( )
A. B.
C. D.
D [解方程组可得
将代入解得]
3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为( )
A. B.
C. D.
C [根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.列方程组为故选C.]
4．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3 C．－4 D．4
D [由得
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.故选D.]
5．若＝＝，且a－b＋c＝12，则2a－3b＋c等于( )
A. B．2 C．4 D．12
C [设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝7k，
代入方程a－b＋c＝12得：2k－3k＋7k＝12，
解得k＝2，即a＝4，b＝6，c＝14，
则2a－3b＋c＝2×4－3×6＋14＝4.故选C.]
二、填空题
6．已知二元一次方程2x－3y－5＝0的一组解为则6b－4a＋3＝________.
－7 [∵是二元一次方程2x－3y－5＝0的解，
∴2a－3b－5＝0，即2a－3b＝5，
∴6b－4a＋3＝－2(2a－3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.]
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
[设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
故答案为：]
8．三元一次方程组的解集为________．
{(x，y，z)|(7，－3,5)} [解
①＋②得：2y＝－5－1，解得：y＝－3，
②＋③得：2x＝－1＋15，解得：x＝7，
把x＝7，y＝－3代入①得：－3＋z－7＝－5，解得：z＝5，
方程组的解集为{(x，y，z)|(7，－3,5)}．]
三、解答题
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(1,0)，(－5,0)，顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式．
[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(1,0)，(－5,0)，
∴对称轴为：x＝－2，
∵顶点的纵坐标为，∴顶点坐标为，
设此二次函数解析式为：y＝a(x＋2)2＋，
∴0＝a(1＋2)2＋，解得：a＝－，
∴这个二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋.
10．已知x，y满足方程组
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知：＋＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy；则＋＝________(直接求出答案，不用写过程)
[解] (1)乙 原方程组不是二元一次方程组，
故乙的说法正确，故答案为：乙．
(2)
①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17.
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，∴2y＋x＝±5，
∴＋＝＝±，故答案为±.
[等级过关练]
1．|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2－3ab的值是( )
A．14 B．2
C．－2 D．－4
D [∵|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，∴
解得：a＝－1，b＝－2，则2a2－3ab＝2－6＝－4.故选D.]
2．若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元；那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需( )
A．50元 B．60元
C．70元 D．80元
B [设一件甲商品x元，乙商品y元，丙商品z元．根据题意得：
①＋②得：4x＋4y＋4z＝240，所以x＋y＋z＝60，故选B.]
3．已知x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为________．
113 [∵x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组的解，
∴
解得：k＝－2，m＝7，n＝－10，
∴m2－7n＋3k＝49＋70－6＝113.]
4．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目
思想品德
历史
地理
参考人数(人)
19
13
18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有________人；该班至少有学生________人．
16,29 [思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19－3＝16人，
设三门课都选的有x人，同时选择地理和思想品德的有y人，
则有总人数为19＋18＋13－3－4－2x－y＝43－2x－y，
∵选择历史没有选择思想品德的有6人，∴2x＜6，∴x＜3，∴x＝1,2，
∵只选思想品德的现在有19－3－4－1－y＝11－y，∴y最大是10，
该班至少有学生43－4－10＝29，故答案为16；29；]
4．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
[解] (1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
解得
答：需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5,10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
