2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等关系与不等式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的大小比较
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
3.重要不等式
一般地，?a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( )
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A [v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]
3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5t<28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
M＞N [M－N＝a2＋a＋1
＝2＋＞0，∴M＞N.]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式?组?表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个?或几个?量之间不可用不等式?组?来表示.另外，在用不等式?组?表示实际问题时，一定要注意单位的统一.
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0
这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
比较两数(式)的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝2＋.
∵2≥0，∴2＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.
y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a
＝0.2a(1.25－x)，
当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
1．思考辨析
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
[提示] (1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
[答案] C
3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200.
课件37张PPT。第二章 等式与不等式2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等关系与不等式不等式 a＝b 用不等式(组)表示不等关系比较两数(式)的大小不等关系的实际应用点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 不等式及其性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
B [根据不等式的性质判断．]
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.>1 D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.]
利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，
故B为假命题；
?＞，
故C为假命题；
ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.
有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．]
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]
利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
本例条件不变的情况下，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜.
又∵e＜0，∴＞.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
?1?利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
?2?应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，
∴f－ac不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<，
又∵－6∴－2<<4.
你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
求含字母的数?或式子?的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
[解] ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜.
∵－＜≤，
∴－≤－＜.
∴－≤＜，
又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.
1．思考辨析
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个负数时，不等号方向改变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
[答案] (1)× (2)×
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a－d＞b－c B．－＜－
C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd
C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，－＜－，
即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，
得－1＜－β＜1.
∴－2＜α－β＜2，但α＜β.
故知－2＜α－β＜0.]
4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
课件40张PPT。第二章 等式与不等式2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第2课时 不等式及其性质an＞bn＞0(n∈N，n≥2)b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bd利用不等式性质判断命题真假利用不等式性质证明简单不等式不等式性质的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 不等关系与不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
C [对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
C [∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.]
3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
A [M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故选A.]
4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.＜ B.＞
C.＜ D.＞
B [糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故＞.]
5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
C [用作商法比较，由题意x，y＞0，
∵＝＝＜1，∴x＜y.]
二、填空题
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)
< [因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
8(x＋19)>2 200 [因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．]
8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1 [∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.∴m3＞m2－m＋1.]
三、解答题
9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
方式
效果
种类
轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内至少运输2 000t粮食和1 500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解] 设需要安排x艘轮船和y架飞机．
则
即
10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
[解] ∵－(1－x)＝＝，
当x＝0时，＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，
∴＞1－x.
[等级过关练]
1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆
B [设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得
解得∴9＜x＜11.
而x为正整数，故x＝10.]
2．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A. B.
C．2x－5≥1或5－2x≥1 D.
D [由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以
即]
3．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________．
2≤d≤2 [最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2.]
4．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
20 330 [设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]
5．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地？
[解] 设A，B两地路程为2s，甲车走完A地到B地的路程所用时间为t1，则a＋b＝2s，t1＝，
乙车走完A地到B地的路程所用的时间为t2，
则t2＝＋.
又t1－t2＝－－
＝
＝＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，
∴t1＜t2，即甲车先到达B地．
课时分层作业(十四) 不等式及其性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
D [取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.故选D.]
3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②<；③>.其中不成立的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [虽然已知a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3?>－，②错；若有a＝1，b＝－2，则＝，＝1，故③错．]
4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴05．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D．a|c|＞b|c|
C [对A，若a＞0＞b，则＞0，＜0，
此时＞，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，
∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴＞恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
二、填空题
6．给出以下四个命题：
①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?＞；④a＜b＜0?＞.其中真命题的序号是________．
②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得＞成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．]
7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列：________.
y＜－y＜x [∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]
8．若8(2,5) [∵2∵8三、解答题
9．(1)a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
[证明] (1)由于－＝
＝，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，
∴－<0，
即<0，
而a>b，
∴b－a<0，
∴ab>0.
10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3).
[解] (1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，
∴1＜a－b＜4.
(3)∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.
[等级过关练]
1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞ac
C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2
B [∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴A不正确．
对于B，ab＞ac?a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]
2．若α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是( )
A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π
C．－＜2α－β＜ D．0＜2α－β＜π
C [∵－＜α＜，∴－π＜2α＜π.∵－＜β＜，
∴－＜－β＜，∴－＜2α－β＜.又α－β＜0，α＜，∴2α－β＜.故－＜2α－β＜.]
3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
[3,8] [∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴3≤z≤8.]
4．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)
①④ [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此④正确．]
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：
(1)该函数图像过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4.
求当x＝－2时，y的取值范围．
[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图像过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax2＋bx.
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得
4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.
