高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（29张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（29张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 19:43:08 | ||
图片预览
文档简介
课件29张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课标要求:1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 自主学习知识探究1.空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.(3)基底与基向量
如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+ yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合,或者说p可以由a,b,c线性表示.
(2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面.③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,并且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示.(2)空间直角坐标系
在空间任选一点O和一个单位正交基底{e1,e2,e3},以O为坐标原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.其中O叫坐标原点,向量e1,e2,e3叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,它们分别是xOy平面、xOz平面、yOz平面.(4)空间任一点P的坐标的确定
过点P(x,y,z)作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过点P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|,如图,x,y,z的符号视点P的位置而定,在写点P的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.注意:(1)因为e1,e2,e3两两垂直,所以e1·e2=e1·e3=e2·e3=0.
(2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1.
(3)空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°, ∠yOz=90°.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系.本书中使用的坐标系一般都是右手直角坐标系,如图.自我检测1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
(A)3a,a-b,a+2b (B)2b,b-2a,b+2a
(C)a,2b,b-c (D)c,a+c,a-cC解析:对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D错误.故选C.CD答案:(1,-3, )4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,且向量p=i-3j+ k,则p的坐标为 .?题型一空间向量基本定理的理解 课堂探究【例1】 若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底.变式探究:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,a-b,c共面,
则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),
即c=(x+y)a+(x-y)b,
从而由共面向量知c与a,b共面,
这与a,b,c不共面矛盾.
所以a+b,a-b,c不共面,即可以作为空间的一个基底.方法技巧 判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.即时训练1-1:(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,则{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个题型二空间向量基本定理的应用方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.空间向量的坐标表示题型三【例3】 如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,并求向量 的坐标.方法技巧 用坐标表示空间向量的方法步骤为
(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.
(2)根据图形特征建立空间直角坐标系.
(3)用基底表示向量.
(4)确定向量的坐标.即时训练3-1:(1)设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是( )
(A)(12,14,10) (B)(10,12,14)
(C)(14,12,10) (D)(4,3,2)(1)解析:依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).故选A.
(1)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.(3)基底与基向量
如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+ yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合,或者说p可以由a,b,c线性表示.
(2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面.③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,并且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示.(2)空间直角坐标系
在空间任选一点O和一个单位正交基底{e1,e2,e3},以O为坐标原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.其中O叫坐标原点,向量e1,e2,e3叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,它们分别是xOy平面、xOz平面、yOz平面.(4)空间任一点P的坐标的确定
过点P(x,y,z)作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过点P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|,如图,x,y,z的符号视点P的位置而定,在写点P的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.注意:(1)因为e1,e2,e3两两垂直,所以e1·e2=e1·e3=e2·e3=0.
(2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1.
(3)空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°, ∠yOz=90°.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系.本书中使用的坐标系一般都是右手直角坐标系,如图.自我检测1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
(A)3a,a-b,a+2b (B)2b,b-2a,b+2a
(C)a,2b,b-c (D)c,a+c,a-cC解析:对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D错误.故选C.CD答案:(1,-3, )4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,且向量p=i-3j+ k,则p的坐标为 .?题型一空间向量基本定理的理解 课堂探究【例1】 若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底.变式探究:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,a-b,c共面,
则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),
即c=(x+y)a+(x-y)b,
从而由共面向量知c与a,b共面,
这与a,b,c不共面矛盾.
所以a+b,a-b,c不共面,即可以作为空间的一个基底.方法技巧 判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.即时训练1-1:(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,则{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个题型二空间向量基本定理的应用方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.空间向量的坐标表示题型三【例3】 如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,并求向量 的坐标.方法技巧 用坐标表示空间向量的方法步骤为
(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.
(2)根据图形特征建立空间直角坐标系.
(3)用基底表示向量.
(4)确定向量的坐标.即时训练3-1:(1)设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是( )
(A)(12,14,10) (B)(10,12,14)
(C)(14,12,10) (D)(4,3,2)(1)解析:依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).故选A.