高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第二课时利用空间向量求角和距离（41张）
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| 名称 | 高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第二课时利用空间向量求角和距离（41张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 19:42:53 | ||
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文档简介
课件41张PPT。第二课时 利用空间向量求角和距离课标要求:1.理解直线与平面所成角和点到平面的距离的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题及各种空间距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 自主学习知识探究1.异面直线所成的角
(1)异面直线所成角的定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.注意:两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但是两者不完全相等,当两个方向向量的夹角是钝角时,其补角就是两条异面直线所成的角.2.直线与平面所成的角
(1)直线与平面所成角的定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.注意:用平面的法向量求线面角的大小时,直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角要区别清楚.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线与平面所成角为θ,则有3.二面角的向量求法注意:(1)设二面角的平面角为θ,则0°≤θ≤180°.当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面相交时,0°<θ<180°;当两个半平面构成一个平面时,θ=180°.
(2)将求二面角转化为求二面角两个半平面的法向量的夹角,把问题转化为向量运算,要注意法向量的夹角与二面角相等或互补.在解题时,可根据法向量的方向来进行判断,以便准确求出二面角的大小.4.点到直线的距离
求点到直线距离的常用方法有
(1)找垂线段,求其长度;
(2)利用等面积法;
(3)借助向量的模,利用向量数量积的几何意义求解.
对方法(3)的说明具体如下:5.点到平面的距离(线面距离、面面距离)
解决此类问题的常用方法有
(1)确定垂线段法;
(2)等体积变换法;自我检测1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)以上均错
2.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°A B 3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )D答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?题型一求异面直线所成的角 课堂探究【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点.求异面直线AE与CF所成角的余弦值.规范解答:不妨设正方体棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,变式探究:将题目中的点F改为“AB的中点”,求异面直线AE与C1F所成角的余弦值.方法技巧 (1)用基向量法求异面直线的夹角的方法
①作空间几何体的图形,并找出基底;
②用基底表示两异面直线的方向向量;
③利用公式cos= ,求出两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.即时训练1-1:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.题型二 求直线与平面所成的角【例2】 如图1所示,在边长为12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A′A′1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,请在图2中解决下列问题:(1)求证:AB⊥PQ;(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值.方法技巧 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系;(3)求平面的法向量n;(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°,试确定点M的位置.题型三 二面角的求法【例3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC =2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的 中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(1)证明:设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,
所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.方法技巧 用向量法求二面角的大小的求解步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.即时训练3-1:如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧面ABCD是梯形,AD∥BC,底面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
(1)求证:A1B⊥AD;(1)证明:如图,连接AB1,A1D,BD,设AB1交A1B于点O,连接OD.
由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1,AD=AD,
可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD.
由于O是线段A1B的中点,所以DO⊥A1B.
又根据菱形的性质得AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,从而A1B⊥AD.(2)若AD=AB=2BC,∠A1AB=60°,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.(2)解:由题意知DO⊥平面ABB1A1.
因为底面ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B,
分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图.题型四 求空间点到平面的距离【例4】 如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB, F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求点D到平面ACE的距离.解:以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.方法技巧 利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段,而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投影,具体求解过程如下:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求出已知点P与平面α内任一点A对应的向量 ;
(3)求出平面α的法向量n;
(4)求点P到平面α的距离,即d= .
(1)异面直线所成角的定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.注意:两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但是两者不完全相等,当两个方向向量的夹角是钝角时,其补角就是两条异面直线所成的角.2.直线与平面所成的角
(1)直线与平面所成角的定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.注意:用平面的法向量求线面角的大小时,直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角要区别清楚.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线与平面所成角为θ,则有3.二面角的向量求法注意:(1)设二面角的平面角为θ,则0°≤θ≤180°.当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面相交时,0°<θ<180°;当两个半平面构成一个平面时,θ=180°.
(2)将求二面角转化为求二面角两个半平面的法向量的夹角,把问题转化为向量运算,要注意法向量的夹角与二面角相等或互补.在解题时,可根据法向量的方向来进行判断,以便准确求出二面角的大小.4.点到直线的距离
求点到直线距离的常用方法有
(1)找垂线段,求其长度;
(2)利用等面积法;
(3)借助向量的模,利用向量数量积的几何意义求解.
对方法(3)的说明具体如下:5.点到平面的距离(线面距离、面面距离)
解决此类问题的常用方法有
(1)确定垂线段法;
(2)等体积变换法;自我检测1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)以上均错
2.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°A B 3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )D答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?答案:4.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .?题型一求异面直线所成的角 课堂探究【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点.求异面直线AE与CF所成角的余弦值.规范解答:不妨设正方体棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,变式探究:将题目中的点F改为“AB的中点”,求异面直线AE与C1F所成角的余弦值.方法技巧 (1)用基向量法求异面直线的夹角的方法
①作空间几何体的图形,并找出基底;
②用基底表示两异面直线的方向向量;
③利用公式cos
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.即时训练1-1:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.题型二 求直线与平面所成的角【例2】 如图1所示,在边长为12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A′A′1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,请在图2中解决下列问题:(1)求证:AB⊥PQ;(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值.方法技巧 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系;(3)求平面的法向量n;(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°,试确定点M的位置.题型三 二面角的求法【例3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC =2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的 中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(1)证明:设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,
所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.方法技巧 用向量法求二面角的大小的求解步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.即时训练3-1:如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧面ABCD是梯形,AD∥BC,底面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
(1)求证:A1B⊥AD;(1)证明:如图,连接AB1,A1D,BD,设AB1交A1B于点O,连接OD.
由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1,AD=AD,
可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD.
由于O是线段A1B的中点,所以DO⊥A1B.
又根据菱形的性质得AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,从而A1B⊥AD.(2)若AD=AB=2BC,∠A1AB=60°,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.(2)解:由题意知DO⊥平面ABB1A1.
因为底面ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B,
分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图.题型四 求空间点到平面的距离【例4】 如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB, F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求点D到平面ACE的距离.解:以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.方法技巧 利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段,而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投影,具体求解过程如下:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求出已知点P与平面α内任一点A对应的向量 ;
(3)求出平面α的法向量n;
(4)求点P到平面α的距离,即d= .