北师大版初中数学八年级上册第五章 二元一次方程组 ：二元一次方程组的解法（一）代入法(基础)含解析

二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 理解消元的思想；
2. 会用代入法解二元一次方程组.
【要点梳理】
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
【典型例题】
类型一、用代入法解二元一次方程组
1．（2018?贵阳）用代入法解方程组： 的解为　 　．
【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.
【答案与解析】
解：解，
把②代入①得x+2=12，
∴x=10，
∴．
故答案为：．
【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.
举一反三：
【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.
【答案】3，﹣2.
2. 用代入法解二元一次方程组：
【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中的x用y来表示，再代入①中即可.
【答案与解析】
解：由②得x＝5-y ③
将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，
解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2
所以原方程组的解为．
【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．
举一反三：
【变式1】与方程组有完全相同的解的是（ ）
A．x+y－2=0
B．x+2y=0
C．(x+y－2)(x+2y)=0
D．
【答案】D
【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则 x= ， y= .
【答案】3,2.
类型二、由解确定方程组中的相关量
3.（2019?莆田模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．
【思路点拨】将x=-y代入第二个方程，解出y的值，再代入上面的方程可得值.
【答案与解析】
解：，
将x=-y代入②得：-y+2y =﹣1，∴y=﹣1，
∴x=1，
将x=1，y=﹣1代入①得，k=1．
【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
举一反三：
【变式】（2018?昆山市二模）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是　　．
【答案】4
解：把代入方程得：，
解得：m=1，n=﹣3，
则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．
4. 若方程组的解为，试求的值.
【答案与解析】
解：将代入得，即，
解得.
【总结升华】将已知解代入原方程组得关于的方程组，再解关于方程组得的值.
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019?河北模拟）利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．由①得x= B．由①得y=
C．由②得y= D．由②得y=
2．（2018春?苏州期末）小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　）
A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和﹣2
3．对于方程3x-2y-1＝0，用含y的代数式表示x，应是（ ）.
A． B． C． D．
4．已知x+3y＝0，则的值为（ ）.
A． B． C．3 D．-3
5.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设， ，则可得到方程组为( ) .
A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.
6．已知是二元一次方程组的解．则a-b的值为（ ）.
A．-1 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．解方程组若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．
8．（2019春?南安市期末）二元一次方程组的解是　 　．
9．方程组的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．
10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．
11.（2018?泉州）方程组的解是　 　．
12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．
三、解答题
13．用代入法解下列方程组：
(1) (2)
14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．
解方程组
解：由②，得y＝1-6x ③
将③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x消元，无法继续）
15．（2018?黄冈模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】解：由①得，2x=6﹣3y，
x=；
3y=6﹣2x，
y=；
由②得，5x=2+3y，
x=，
3y=5x﹣2，
y=．
故选B．
2.【答案】D．
【解析】∵x=5是方程组的解，∴2×5﹣y=12，∴y=﹣2，∴2x+y=2×5﹣2=8，
∴●是8，★是﹣2．故选D．
3. 【答案】D；
【解析】移项，得，系数化1得.
4. 【答案】B；
【解析】由x+3y＝0得3y＝﹣x，代入.
5. 【答案】D；
6. 【答案】A；
【解析】将代入得，解得.
二、填空题
7. 【答案】②； x， y；
8. 【答案】；
【解析】解：，
把①代入②得：x+2x=3，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为，
故答案为：
9. 【答案】-5；
【解析】由解得，代入 x+y-a＝0，得a＝-5.
10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；
【解析】联立方程组，解得.
11.【答案】.
12.【答案】51，15；
【解析】设父亲现在的年龄是岁，儿子现在的年龄是．由题意得：
，解得.
三、解答题
13.【解析】
解： (1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③得x＝0，故．
(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得y＝-1，故．
14.【解析】
解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．
由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．
解得，将代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为．
15.【解析】
解：由方程组得：
∵此方程组的解也是方程2x+3y=6的解
∴2×7k+3×（﹣2k）=6
k=．