北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第22讲 二元一次方程组的应用(基础)

应用二元一次方程组（基础）知识讲解

【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量；
（2）利润公式：
利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)?
（3）银行利率公式：
利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
要点诠释：
　 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．
3.行程问题： 　速度×时间=路程.　顺水速度=静水速度+水流速度.　逆水速度=静水速度-水流速度.
4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、鸡兔同笼问题
1. （2019?茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拨】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．
【答案与解析】
解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得
，
故选C
【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
举一反三：
【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

【答案】
解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组：

解得
答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.
类型二、增收节支问题
2.（2019?北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　．
【思路点拨】由实际问题抽象出二元一次方程组
根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【答案与解析】
解：根据题意得：.
【总结升华】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的能力，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
举一反三
【变式】小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
【答案】
上衣成本＋裤子成本＝500元
上衣利润＋裤子利润＝157元
分析：设上衣的成本价为ｘ元，裤子的成本价为ｙ元：
成本（元）
实际售价（元）
利润（元）
上衣
x
裤子
y
解：设上衣的成本价为x元，裤子的成本价为y元，则上衣利润为 　　　　　　　　元，
　裤子利润为[0.9(1+40%)y-y]元，依题意得
整理得:
②－① ×26,得9x=2700,
∴x =300.
把其代入①，得y=500－300=200
答：上衣成本300元，裤子成本200元.
3. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.
【答案与解析】
解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.
类型三、里程碑上的数（数字问题）
4.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．
【答案与解析】
解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：
，解方程组，得．
故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．
答：这个两位数为49．
【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
【变式】（2019?黑龙江）为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y=40，
当x=1，则y=（不合题意）；
当x=2，则y=5；
当x=3，则y=（不合题意）；
当x=4，则y=（不合题意）；
当x=5，则y=（不合题意）；
当x=6，则y=（不合题意）；
当x=7，则y=（不合题意）；
当x=8，则y=0；
所以有2种分组方案．故选：C．
类型四、行程问题
5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．
【答案与解析】
解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，
解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．
应用二元一次方程组(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .
A．12只 B．6只 C．112只 D．128只
2. （2019?临沂）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
3. 用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树4周，则绳子还多1尺；若环绕大树5周，则绳子又少3尺．设这根绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
4.（2019?台湾）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差（　　）.
A．6 B．9 C．12 D．18
5. m表示一个两位数，n表示一个三位数，把m放在n的左边组成一个五位数，那么这个五位数可以表示成（　　）
　
A．
mn
B．
1000m+n
C．
100m+1000n
D．
100m+n
6. 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
12：00
13：00
14：30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（　　）
　
A．
24
B．
42
C．
51
D．
15
二、填空题
7．（2019?宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组 　 　．
8．（2019?南昌一模）足球比赛中胜场积3分，平场积1分，负场积0分．中天队第12轮比赛战罢，输了3场，共积19分，若设其胜了x场，平了y场，可列方程组：　 　．
9．某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？设城镇人口是x万，农村人口是y万，得到的方程组为_________.
10. 现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问甲乙两种溶液各需 升和 升.
11．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．
12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是 岁．
三、解答题
13．某厂第二车间人数比第一车间人数的少30人，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，这两个车间各有多少人？
14. 2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?
15.（2019?义乌市）某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．
（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？
（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛．如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】设这些苹果箱共只，则有，解得.
2. 【答案】D；
3. 【答案】B；
4. 【答案】D；
【解析】设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，∴1016﹣x+y=1028﹣3x+3y，
整理得：x﹣y=6，开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y=1028﹣3（x﹣y）=1028﹣18=1010（人），∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010=18（人），故选：D．
5. 【答案】B；
【解析】∵m表示一个两位数，n表示一个三位数，把m放在n的左边组成一个五位数∴相当于把m扩大1000倍，∴表示这个五位数的代数式1000m+n．
6. 【答案】D；
【解析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，解得：，
所以12：00时看到的两位数是15.
二、填空题
7. 【答案】；
8. 【答案】；
【解析】解：∵共踢了12场，其中负3场，∴x+y=12﹣3；
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分，共得19分．
∴3x+y=19，故列的方程组为．
9．【答案】
【解析】本题中的等量关系：一、现在城镇人口+农村人口＝42万；二、一年后城镇增加人口+一年后农村增加人口＝42×1%万人，根据这两个等量关系即可列方程组.
10．【答案】2,5
【解析】解：设甲、乙两种溶液x升、y升，根据题意，可得：
解得
11.【答案】；35，40.
12.【答案】25；
【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的年龄+年龄差=37，据此可以设学生和老师现在的年龄分别为x岁、y岁，再列方程组求解．
三、解答题
13.【解析】
解：设第一车间x人，第二车y人，则 解得
答：第一车间250人，第二车间170人．
14.【解析】
解：法一：间接设元
设去年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，根据题意，
得
解得，
100×(1-80％)＝20，370×(1-90％)＝37．
答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．
法二：直接设元
设今年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，
根据题意，得
解得
答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．
15.【解析】
解：（1）设通道的宽为xm，AM=8ym，
∵AM：AN=8：9，
∴AN=9y，
∴，
解得：．
答：通道的宽是1m；
（2）∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP=8，则AB＞13，不合题意，
∴RQ=8，
∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，
∴RP=6，
∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，
∴PQ=10，
∴RE×PQ=PR×QR=6×8，
∴RE=4.8，
∵RP2=RE2+PE2，
∴PE=3.6，
同理可得：QF=3.6，
∴EF=2.8，
∴S四边形RECF=4.8×2.8=13.44，
即花坛RECF的面积为13.44m2．