北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第23讲 二元一次方程（组）与一次函数(基础)

二元一次方程（组）与一次函数（基础）
【学习目标】
1.理解二元一次方程与一次函数的关系；
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；
3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程与一次函数的关系
1.任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.
要点诠释：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.
要点二、二元一次方程组与一次函数
1. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2. 图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.
要点诠释：
利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用待定系数法解决问题的步骤：
1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
【典型例题】
类型一、二元一次方程与一次函数
1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（　　）
　
A．
x﹣3y=3
B．
x+3y=3
C．
3x﹣y=1
D．
3x+y=1
【答案】A
【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，
得到二元一次方程组
解方程组得到．
∴一次函数解析式为，
移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．
【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.
举一反三：
【变式】已知，和，是二元一次方程的两个解，则一次函数的解析式为（ ）
A.、 B、 C.、 D、
【答案】D
类型二、二元一次方程组与一次函数
2、（2019?临清市二模）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【答案】C.
【解析】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），
即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
举一反三：
【变式】（2018春?昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y的方程组的解是　　．
【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，
∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，
∴方程组的解为．
故答案为．
3、（2018?东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．
【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．
【答案与解析】
解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），
所以，方程组的解是．
【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.
类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式
4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；
（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．
【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；
（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．
【答案与解析】
解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），
∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），
由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），
由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），
∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），
（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．
将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，
解得：k=189，b=﹣2079，
即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．
【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．
举一反三：
【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度xcm
40.0
37.0
桌子高度ycm
75.0
70.2
（1）请确定y与x的函数关系式？
（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？
【答案】
解：（1）设y=kx+b．根据题意得
．解得 ．
∴y=1.6x+11；
（2）椅子和课桌不配套．
∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，
∴椅子和课桌不配套．
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019?来宾）已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2. 函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（ ）解.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
4. （2018?长沙模拟）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5. 若函数与的图象交于轴上一点，则的值为（ ）
A．4 B．－4 C． D．±4
6. 如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B，能表示这个一次函数所对应的二元一次方程为（　　）
A． B． C． D．

二.填空题
7．把方程x+2y=﹣3化成一次函数的形式：y=________.
8. （2018?武汉模拟）如图，直线y=kx+m与y=﹣x+b相交于P点，则不等式组的解集为　 　．
9. 如果一次函数和在同一坐标系内的图象如图，并且方程组的解，则，的取值范围是__________.
10.（2019?巴中）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=﹣x﹣1的交点坐标为　 　．
11. 一次函数与的图象如图，则方程的解是________.
12. 如图，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距　_________　千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为　_________　小时；
（3）乙从出发起，经过　_________　小时与甲相遇；
（4）甲行车的路程s与时间t之间的函数关系式是　_________　．
三.解答题
13．（2018?庐江）若正比例函数y=﹣x的图象与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出方程组的解．
14．两个一次函数的图象如图所示，
（1）分别求出两个一次函数的解析式；
（2）求出两个一次函数图象的交点坐标；
（3）求这两条直线与轴围成三角形的面积．
15.甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地．甲所乘冲锋舟在静水中的速度为千米/分钟，甲到达B地立即返回．乙所乘冲锋舟在静水中的速度为千米/分钟．已知A、B两地的距离为20千米，水流速度为千米/分钟，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，与之间的函数关系式．（2）甲、乙两人同时出发后，经过多少分钟相遇？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】∵直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），∴方程组的解为，故选：A．
2. 【答案】B；
【解析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．
3. 【答案】C；
【解析】∵x﹣2y=2，∴y=x﹣1，∴当x=0，y=﹣1，当y=0，x=2，
∴一次函数y=x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0）．
4. 【答案】C；
【解析】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），
即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．故选C．
5. 【答案】C；
【解析】函数与的图象交于轴上一点，令两方程中＝0，即
＝＝.
6. 【答案】D；
【解析】过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数的图象相交于点B（1，2），代入一次函数解析式，即可求出．
二.填空题
7. 【答案】；
8. 【答案】0＜x＜2；
【解析】直线和的的系数相等，可以得出直线和的位置关系是平行，从而得出方程组解的情况.
9. 【答案】＞0，＞0；
【解析】方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在一象限，从而得到，的范围．
10.【答案】（﹣4，1）；
【解析】∵二元一次方程组的解为，∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=﹣x﹣1的交点坐标为（﹣4，1），故答案为：（﹣4，1）．
11.【答案】3；
【解析】一次函数与的图象的交点的横坐标是3，故方程的解是：＝3．
12. 【答案】（1）10；（2）1；（3）3；(4)s=t+10
【解析】（4）设直线解析式为s=kx+b，因为图象过点（0，10）和（3，22.5），
所以，解之得，即s=t+10．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）将x=﹣1代入y=﹣x，得y=1，
则点A坐标为（﹣1，1）．
将A（﹣1，1）代入y=x+m，得﹣1+m=1，
解得m=2，
所以一次函数的解析式为y=x+2；
（2）方程组的解为．
14.【解析】
解：（1）设所求的一次函数为，把点（－2，0）(0，－3)代入得
，＝－3,
所以直线的解析式为＝
同理可求得直线的解析式为
（2），解方程组得
所以两个一次函数图象的交点坐标是.
（3）设直线与轴交于点N，则N点坐标为（0，1）
所求面积为.
15.【解析】
解：（1）甲由A地到B地的函数解析式是：，即；
甲到达B地所用时间是：20÷＝24分钟，
甲由B地到A地所用时间是：20÷＝20分钟，
设甲由B地到A地的函数解析式是：，
∵点（24，20）与（44，0）在此函数图象上，
∴，
解得：，
∴甲由B地到A地函数解析式是：，
（2）乙由A地到B地的函数解析式是：，即；
根据题意得：，
解得：，
则经过分钟相遇．