2019-2020学年吉林大学附中九年级(上)第二次周考( 解直角三角形)数学试卷(解析版)

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名称 2019-2020学年吉林大学附中九年级(上)第二次周考( 解直角三角形)数学试卷(解析版)
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资源类型 教案
版本资源 青岛版
科目 数学
更新时间 2019-09-19 19:23:13

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文档简介

2019-2020学年吉林大学附中九年级(上)第二次周考数学试卷
一、选择题(共8小题,每题3分)
1.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosB=,BC=a,那么AC的长是(  )
A.2a B.3a C.a D. a
2.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,下列三角函数表示正确的是(  )

A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.tanB=
3.(3分)△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC的形状是(  )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
4.(3分)如图,△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为(  )

A. B. C.2 D.
5.(3分)Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=58°,BC=3,则AB的长为(  )
A. B. C.3sin58° D.3cos58°
6.(3分)sin240°+cos240°的值为(  )
A.0 B. C.1 D.2
7.(3分)如图,延长RT△ABC斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tan∠BCD=,则tanA=(  )

A. B.1 C. D.
8.(3分)如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是(  )

A. B. C. D.
二、填空题(共6小题,每题3分)
9.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=,则tanB=   .
10.(3分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的余弦值是   .

11.(3分)在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cosA的值是   .
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sinα=sinB;②sinβ=sinC;③sinB=cosC;④sinα=cosβ.其中正确的结论有   .

13.(3分)直角坐标系内,点A与点B(sin60°,)关于y轴对称,如果函数的图象经过点A,那么k=   .
14.(3分)若锐角x满足tan2x﹣(+1)tanx+=0,则x=   .
三、解答题(共7小题)
15.计算:
(1)sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°;
(2).
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;
(1)a=8,b=8;
(2)∠B=45°,c=14.
17.(10分)如图,△ABC中,AB=AC=13,BD⊥AC于点D,sinA=
(1)求BD的长;
(2)求tanC的值.

18.(10分)如图,射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB、AB使△AOB为直角三角形,并且
(1)使tan∠AOB的值为1;
(2)使tan∠AOB的值为.

19.(10分)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=21,AD=8,sinB=.
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.

20.如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:(1)BC的长;(2)∠ADC的正弦值.

21.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=∠ADB=90°,tanA=,AB=5,点P在△BCD的边上或内部运动,过点P分别向边AD、AB所在直线作垂线,交射线AD于点E,交边AB于点F.
(1)求边CD的长;
(2)求线段AE的取值范围;
(3)当点P在△BCD的边上运动时,若PE=PF,直接写出线段PE的长.



2019-2020学年吉林大学附中九年级(上)第二次周考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每题3分)
1.【分析】依据cosB=,BC=a,即可得到AB=3a,再根据勾股定理,即可得到AC的长.
【解答】解:∵cosB=,BC=a,
∴AB=3a,
∵∠C=90°,
∴Rt△ABC中,AC===2a,
故选:A.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理.在直角三角形中,锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
2.【分析】先利用勾股定理可得BC=5,再根据三角函数的定义求解可得.
【解答】解:∵∠C=90°,AB=13,AC=12,
∴BC=5,
则sinA==,cosA==,tanA==,tanB==,
故选:B.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义:熟练掌握锐角三角函数的定义.
3.【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A,∠B的度数,进而得出答案.
【解答】解:∵sinA=,cosB=,
∴∠A=45°,∠B=60°,
∴∠C=75°,
∴△ABC的形状是锐角三角形.
故选:C.
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
4.【分析】过B点作BD⊥AC,得AB的长,AD的长,利用锐角三角函数得结果.
【解答】解:过B点作BD⊥AC,如图,
由勾股定理得,
AB==,
AD==2,
cosA===,
故选:D.

【点评】本题考查了锐角三角函数和勾股定理,作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键.
5.【分析】根据cosB=知AB=,据此可得答案.
【解答】解:∵cosB=,
∴AB==,
故选:B.
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是熟练掌握余弦函数的定义.
6.【分析】根据平方关系:sin2A+cos2A=1即可求解.
【解答】解:sin240°+cos240°=1.
故选:C.
【点评】考查了同角三角函数的关系,关键是熟悉sin2A+cos2A=1的知识点.
7.【分析】若想利用tan∠BCD的值,应把∠BCD放在直角三角形中,也就得到了Rt△ACD的中位线,可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比.
【解答】解:过B作BE∥AC交CD于E.
∵AC⊥BC,
∴BE⊥BC,∠CBE=90°.
∴BE∥AC.
∵AB=BD,
∴AC=2BE.
又∵tan∠BCD=,设BE=x,则AC=2x,
∴tanA===,
故选:A.

【点评】本题涉及到三角形的中位线定理,锐角三角函数的定义,解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形,再进行计算.
8.【分析】作AC⊥OB于点C,利用勾股定理求得AC和AO的长,根据正弦的定义即可求解.
【解答】解:作AC⊥OB于点C.
则AC=,
AO===2,
则sin∠AOB===.
故选:D.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
二、填空题(共6小题,每题3分)
9.【分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=,设BC=4x,AB=5x,根据勾股定理得到AC==3x,根据正切函数的定义即可得到结论.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=,
∴设BC=4x,AB=5x,勾股定理得
AC==3x,
由正切等于对边比邻边,得
tanB==,
故答案为:.
【点评】本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,正切函数的定义.
10.【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.
【解答】解:∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,
则cos∠BAC==,
故答案为:.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,熟知在一个三角形中,如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方,那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键.
11.【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长,利用锐角三角函数定义求出cosA的值即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=AB,
∵CD=4,
∴AB=8,
∵AC=6,
∴cosA===,
故答案为:
【点评】此题考查了锐角三角函数定义,以及直角三角形斜边上的中线性质,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
12.【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义,根据∠A=90°,AD⊥BC,可得∠α=∠B,∠β=∠C,再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断.
【解答】解:∵∠A=90°,AD⊥BC,
∴∠α+∠β=90°,∠B+∠β=90°,∠B+∠C=90°,
∴∠α=∠B,∠β=∠C,
∴sinα=sinB,故①正确;
sinβ=sinC,故②正确;
∵在Rt△ABC中sinB=,cosC=,
∴sinB=cosC,故③正确;
∵sinα=sinB,cos∠β=cosC,
∴sinα=cos∠β,故④正确;
故答案为①②③④.
【点评】本题主要考查锐角的三角函数,解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系.
13.【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律确定A点坐标;代入函数关系式求解.
【解答】解:∵sin60°=,
∴点B(,).
根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”可知:
点A为(﹣,),
∵函数的图象经过点A,
∴k=×=.
【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点.
14.【分析】先利用因式分解的方法来解方程,再用特殊角的三角函数值求解即可.
【解答】解:∵tan2x﹣(+1)tanx+=0,
∴(tanx﹣1)(tanx﹣)=0,
∴tanx=1或,
当tanx=1时,x=45°;
当tanx=时,x=60°.
故x=45°或60°.
【点评】本题既考查了一元二次方程的因式分解法,又考查了特殊角的三角函数值.
三、解答题(共7小题)
15.【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案;
(2)直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.
【解答】解:(1)原式=()2+﹣()2+()2
=+﹣
=+;
(2)原式==.
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
16.【分析】根据直角三角形中两锐角互余和锐角三角函数可解答问题.
【解答】解:(1)∵a=8,b=8,∠C=90°;
∴c=,∠A=30°,∠B=60°,
(2)∵∠B=45°,c=14,∠C=90°,
∴∠A=45°,a=b=.
【点评】本题考查解直角三角函数,解题的关键是明确锐角三角函数,找出所求问题需要需要的条件.
17.【分析】(1)根据三角函数得出BD=12即可;
(2)利用勾股定理得出AD=5,进而得出DC=8,利用三角函数解答即可.
【解答】解:(1)∵△ABC中,AB=AC=13,BD⊥AC于点D,sinA=
∴,
即,
解得:BD=12;
(2)∵AC=AB=13,BD=12,BD⊥AC,
∴AD=5,
∴DC=8,
∴tan∠C=.
【点评】此题考查解直角三角形问题,关键是根据三角函数得出BD的值.
18.【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、,构造直角三角形进而得出答案.
【解答】解:(1)如图1所示:

(2)如图2所示;
【点评】此题主要考查了应用设计与作图,利用锐角三角函数关系得出是解题关键.
19.【分析】(1)在Rt△ABD中,根据已知条件求出边AB的长,再由BC的长,可以求出CD的长;
(2)根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求出∠C=∠EDC,从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值.
【解答】解:(1)∵AD是BC边上的高,△ABD和△ACD是直角三角形,
在Rt△ABD中,∵sinB=,AD=8,
∴=,
∴AB=10,
∴BD==6,
又∵BC=21,
∴CD=BC﹣BD=15;
(2)在Rt△ACD中,
∵E为斜边AC的中点,
∴ED=EC=AC,
∴∠C=∠EDC,
∴tan∠EDC=tanC==.
【点评】此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形,同时还要掌握“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点.
20.【分析】(1)如图,作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中,求出AH=CH=1,在Rt△ABH中,求出BH即可解决问题;
(2)在Rt△ADH中,求出DH,AD即可解决问题;
【解答】解:(1)如图,作AH⊥BC于H.

在Rt△ACH中,∵cosC==,AC=,
∴CH=1,AH==1,
在Rt△ABH中,∵tanB==,
∴BH=5,
∴BC=BH+CH=6.
(2)∵BD=CD,
∴CD=3,DH=2,AD==
在Rt△ADH中,sin∠ADH==.
∴∠ADC的正弦值为.
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考中考常考题型.
21.【分析】(1)借助cos∠CDB=cos∠ABD得到一组比例式可求解CD;
(2)当点P在边BD上运动时,如图1,AE取最小值,此时AE=AD=4;当点P与C点重合时,AE取最大值,先利用cos∠CDE=cosA,得到比例式求出DE值,最后计算AD+DE即可得最大值;
(3)分两种情况:①当点P在边BD上时,E点和D点重合,设PE=PF=x,则BP=3﹣x,sin∠PBF=,可求解PE长;②当点P在边BC上时,F点和B点重合,PE=PB,如图3证明BP=BO即可解决问题.
【解答】解:∵∠ADB=90°,tanA=,AB=5,
∴BD=3,AD=4.
∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD.
∴cos∠CDB=cos∠ABD.
∴,即,
所以CD=.
(2)当点P在边BD上运动时,如图1,AE取最小值,此时AE=AD=4;
当点P与C点重合时,如图2,AE取最大值.
∵AB∥CD,
∴∠CDE=∠A,
∴cos∠CDE=cosA.
∴,即,解得DE=.
∴AE=AD+DE=.
∴4≤AE≤.
(3)当点P在边BD上时,E点和D点重合如图1,
设PE=PF=x,则BP=3﹣x,
sin∠PBF=,解得x=.即PE=;
当点P在边BC上时,F点和B点重合,PE=PB,
如图3,设AP与BD交点为O,过O点作OH⊥AB于H点.
由图1可知OH=,BO=.
∵BC∥OH,
∴∠OPB=∠AOH.
又∠DOA=∠AOH=∠BOP,
∴∠BOP=∠OPB.
∴PB=BO=.即PE=.
∴当点P在△BCD的边上运动时,若PE=PF,线段PE的长为或.

【点评】本题主要考查了解直角三角形,进行合情推理、正确画出图形是解题的关键.同时考查了分类讨论思想.