高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程（31张）

课件31张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1　曲线与方程【思考1】到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么?
答案y=±x.在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.
【思考2】曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.
答案不能.还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心,以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2+y2=4”,曲线C上的点都满足方程,但曲线C的方程不是x2+y2=4.1.曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地,在直角坐标系中,如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.名师点拨(1)定义中的条件①阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性),即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外;条件②阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性),即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形,其实质是曲线C的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系.曲线的性质完全反映在它的方程上,方程的性质又反映在它的曲线上.【做一做1】 如果曲线C的方程x2- =1,点M(a,b),那么点M在曲线C上的充要条件是　　　　　　　.?
解析点M在曲线C上,那么点M的坐标满足曲线C的方程,于是有a2- =1,即为点M在曲线C上的充要条件.
答案a2- =1
【做一做2】 方程y=|x|所表示的曲线为(　　)
A.一条直线 B.两条直线
C.一条射线 D.两条射线
解析由y=|x|可得y=x(x≥0)或y=-x(x<0),因此该方程所表示的曲线为两条射线.
答案D【做一做3】
(1)若点P的坐标是方程f(x,y)=0的解,则点P在方程f(x,y)=0的曲线上.(　　)
(2)单位圆上的点的坐标是方程x2+y2=1的解.(　　)答案(1)√　(2)×　(3)× 2.求曲线方程的一般步骤
求曲线的方程,一般有如下步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
特别提醒1.一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当补充说明.
2.在求动点轨迹方程时,若题目的已知条件中,已经出现点的坐标、方程等,则说明已经建立了直角坐标系,这时可省略步骤(1).
3.在求轨迹方程时,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.【做一做4】 到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为(　　)
A.|x|-|y|=3 B.|y|-|x|=3
C.|x|-|y|=±3 D.x-y=±3
解析设动点为(x,y),则它到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|,依题意有||y|-|x||=3,即|x|-|y|=±3.
答案C3.坐标法与解析几何研究的对象
(1)借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法.
(2)由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:
①根据已知条件,求出表示曲线的方程;
②通过曲线的方程,研究曲线的性质.探究一探究二探究三探究四当堂检测 探究一对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解
例1 判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)到x轴距离为3的点的轨迹方程为y=-3;思路分析根据曲线的方程与方程的曲线的定义进行判断.探究一探究二探究三探究四当堂检测解(1)错误.因为到x轴距离为3的点的轨迹方程为|y|=3,不满足完备性.
(2)错误.到原点的距离等于4的点的轨迹方程应为x2+y2=16,不满足完备性.
(3)正确.由方程 (y+2)=0,得x=1或y+2=0(x≥1),因此该方程表示一条直线x=1和一条射线y+2=0(x≥1).
(4)错误.点(4,0)在方程x2+y2=16(x≥0)表示的曲线上,但点(-2,2 )不在该曲线上.
反思感悟定义法判断曲线的方程与方程的曲线
判断“方程是不是指定曲线的方程”“曲线是不是所给方程的曲线”时,主要依据“曲线的方程与方程的曲线”定义中的两个条件,二者缺一不可,即一方面要证明曲线上任意一点的坐标都是方程的解,另一方面,又要证明以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
(2)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;
(3)方程(x+y-1) =0表示的是一条直线和一个圆.
解(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确.
(2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3≤y≤0),故结论错误.
(3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y2≥4),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究二曲线与方程关系的应用
例2 已知方程x2+(y-1)2=10.思路分析(1)将点的坐标代入验证即可;(2)将点的坐标代入曲线方程求解即可.探究一探究二探究三探究四当堂检测延伸探究本例中曲线方程不变,若点N(a,2)在圆外,求实数a的取值范围.
解结合点与圆的位置关系,得
a2+(2-1)2>10,即a2>9,
解得a<-3或a>3,
故所求实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞).反思感悟曲线方程的应用
1.判断某个点是否是曲线上的点,就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解,若适合方程,就说明这个点在该曲线上;若不适合,就说明点不在该曲线上.
2.求两条曲线的交点坐标,就是联立两条曲线的方程,构成方程组,然后解方程组,方程组的解就是交点的坐标,方程组解的个数就是两曲线交点的个数.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是(　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.以上都不对
(2)已知方程xy+3x+ky+2=0表示的曲线经过点(2,-1),则k的值等于　　　　　.?解析(1)联立得方程组
解得交点为(-4k,-3k),代入圆的方程中,
即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=±1.
(2)依题意有2×(-1)+3×2+k(-1)+2=0,解得k=6.
答案(1)C　(2)6探究一探究二探究三探究四当堂检测探究三直接法求动点的轨迹方程
例3 已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.
思路分析设出点M的坐标,利用两点间距离公式及点到直线的距离公式建立等式即可.
解设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟直接法在求轨迹方程中的应用
1.如果题设条件有明显的等量关系或者可运用平面几何知识推导出等量关系,则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程,这种方法叫做直接法.
2.求动点的轨迹方程时,如果已知条件中没有坐标系,则应首先建立坐标系,建立坐标系的方式不同,得到的轨迹方程可能也不同.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.
解设动点P坐标为(x,y),
则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,到点A的距离化简得3x2+4y2=48.
故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究四代入法(相关点法)求动点的轨迹方程
例4 已知圆O:x2+y2=4,点A(-3,5),点M在圆O上移动,且点P满足 ,求点P的轨迹方程.
思路分析点P与点M有关,点M是点P的相关点,只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟代入法在求轨迹方程中的应用
1.代入法(相关动点法)求轨迹方程:在一些问题中,动点满足的条件不宜直接用等式列出,但是动点随着另一动点(称之为相关点)的运动而变化.如果相关点所满足的条件是明显的,这时,我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程,即可求得动点的轨迹方程,这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关动点法).
2.代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤:探究一探究二探究三探究四当堂检测 变式训练4已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设直线m与y轴的交点为N,若向量 ，求动点Q的轨迹方程.解设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0).探究一探究二探究三探究四当堂检测思维辨析
一题多解——用直接法(定义法)求曲线方程
典例在Rt△ABC中,斜边长是定长2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
思路分析以线段AB的中点为原点,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
法一(直接法):利用|AC|2+|BC|2=|AB|2求解.
法二(定义法):顶点C在以AB为直径的圆上.
解法一(直接法):取AB边所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,
过O与AB垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,探究一探究二探究三探究四当堂检测则A(-a,0),B(a,0),设动点C为(x,y).
由于|AC|2+|BC|2=|AB|2,由于当x=±a时,点C与点A或点B重合,故x≠±a.
所以所求的点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
法二(定义法):建立平面直角坐标系同法一
因为AC⊥BC,则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点),因此顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).探究一探究二探究三探究四当堂检测A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线答案D 探究一探究二探究三探究四当堂检测2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条直线的交点在方程x2+y2=9的曲线上,则k等于(　　)
A.±3 B.0 C.±2 D.一切实数
解析两直线的交点为(0,-k),
由已知点(0,-k)在曲线x2+y2=9上,
故可得k2=9,故k=±3.
答案A探究一探究二探究三探究四当堂检测3.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是(　　)
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1解析设点P坐标为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),
所以x1=2x-3,y1=2y.
因为(x1,y1)在曲线x2+y2=1上,
即(2x-3)2+4y2=1.
答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测4.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于- ,则动点P的轨迹方程为(　　)
A.x2-3y2=4 B.x2+3y2=4
C.x2-3y2=4(x≠±1) D.x2+3y2=4(x≠±1)答案D 探究一探究二探究三探究四当堂检测