高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程（31张）

课件31张PPT。2.2　椭圆2.2.1　椭圆及其标准方程 【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?
答案在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.名师点拨1.由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},其中2a>|F1F2|.
2.在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.【做一做1】 (1)下列说法中,正确的是(　　)
A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案(1)C　(2)椭圆 【思考2】若两定点A、B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?
答案以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以2.椭圆的标准方程 名师点拨1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　　.?
解析(1)因为10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,
所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).3.点与椭圆的位置关系
(1)根据椭圆的定义判断点M(x0,y0)与椭圆的位置关系如下:
|MF1|+|MF2|<2a?点M在椭圆内部;
|MF1|+|MF2|=2a?点M在椭圆上;
|MF1|+|MF2|>2a?点M在椭圆外部.A.点在椭圆C上 B.点在椭圆C内
C.点在椭圆C外 D.无法判断答案B 探究一探究二探究三当堂检测 探究一对椭圆定义的理解
例1 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.
思路分析根据椭圆的定义进行分析即可,特别要注意对定义中的常数的限制条件的考查.
解方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径r=8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将本例中圆C的方程改为:x2+y2-6x=0且点P(-3,0)为其外一定点,动圆M与已知圆C相外切且过P点,求动圆圆心M的轨迹方程.
解设M(x,y),由题意可知,圆C:(x-3)2+y2=9,
圆心C(3,0),半径r=3.
由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3,探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆定义的应用
(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
(3)常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.探究一探究二探究三当堂检测探究二对椭圆标准方程的理解 A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.?探究一探究二探究三当堂检测解得-9即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).
(2)由题意知m≠0,将椭圆方程化为探究一探究二探究三当堂检测反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围 探究一探究二探究三当堂检测答案(-4,0)∪(0,3) 探究一探究二探究三当堂检测探究三求椭圆的标准方程
例3 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);思路分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测因为不满足a>b>0,所以无解. 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆方程的求法
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
求与椭圆有关的轨迹问题
典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.探究一探究二探究三当堂检测方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
解析因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.
答案A
2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　)答案C 探究一探究二探究三当堂检测解析由条件可知a2=b2+c2,即10=b2+4,解得b2=6,即椭圆的标准方程为 =1,故选A.
答案A答案6 探究一探究二探究三当堂检测5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2, )的椭圆的标准方程.