高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（27张）
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| 名称 | 高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（27张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1011.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 21:42:54 | ||
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文档简介
课件27张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【思考1】平面向量基本定理的内容是什么?
答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1.空间向量基本定理
如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是( )答案C 【思考2】平面向量的坐标是如何表示的?
答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.【做一做2】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.
(2)空间直角坐标系
以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量 =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).答案C
【做一做4】 若a=3e1+2e2-e3,且{e1,e2,e3}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为 .?
答案(3,2,-1)探究一探究二探究三当堂检测 探究一基底的判断
例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个探究一探究二探究三当堂检测解析 答案C 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.探究一探究二探究三当堂检测探究二用基底表示空间向量 思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运 算进行分拆→直至向量用a,b,c表示探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.探究一探究二探究三当堂检测答案B 探究一探究二探究三当堂检测探究三空间向量的坐标表示 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下: 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
一题多解——空间向量的坐标表示典例如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 的坐标.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )解析只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底.
答案C答案A 探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测
答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1.空间向量基本定理
如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是( )答案C 【思考2】平面向量的坐标是如何表示的?
答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.【做一做2】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.
(2)空间直角坐标系
以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量 =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).答案C
【做一做4】 若a=3e1+2e2-e3,且{e1,e2,e3}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为 .?
答案(3,2,-1)探究一探究二探究三当堂检测 探究一基底的判断
例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个探究一探究二探究三当堂检测解析 答案C 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.探究一探究二探究三当堂检测探究二用基底表示空间向量 思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运 算进行分拆→直至向量用a,b,c表示探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.探究一探究二探究三当堂检测答案B 探究一探究二探究三当堂检测探究三空间向量的坐标表示 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下: 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
一题多解——空间向量的坐标表示典例如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 的坐标.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )解析只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底.
答案C答案A 探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测