高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第2课时利用向量证明空间中的垂直关系（30张）
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| 名称 | 高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第2课时利用向量证明空间中的垂直关系（30张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 764.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 21:43:11 | ||
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文档简介
课件30张PPT。第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系【思考】若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么?
答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线的方向向量,所以l1与l2垂直.
垂直关系与方向向量、法向量的关系【做一做1】 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1与l2相交,但不垂直
C.l1⊥l2
D.不能确定
解析因为a·b=0,所以a⊥b,故l1⊥l2.
答案C
【做一做2】 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2 B.-5
C.4 D.-2
解析因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
答案B做一做3】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. ( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( )
(5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√探究一探究二探究三当堂检测探究一利用向量方法证明线线垂直 例1 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三当堂检测证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC. 探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法证明线面垂直
例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明 与法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2 ,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.探究一探究二探究三当堂检测证明因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测探究三利用向量方法证明面面垂直
例3 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.探究一探究二探究三当堂检测解由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明由题意知直线AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测 思想方法
坐标法证明线面垂直
典例如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.探究一探究二探究三当堂检测证明法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测方法总结 1.坐标法证明线面垂直有两种思路
法一:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
法二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)求出平面的法向量;
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用法二,否则常常选用法一解决.探究一探究二探究三当堂检测1.已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中:①n1∥n2?α∥β;②n1⊥n2?α⊥β;③v∥n1?l∥α;④v⊥n1?l⊥α.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴①②正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴③④都错误.故选B.
答案B探究一探究二探究三当堂检测2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( )
A.平面AED∥平面A1FD1
B.平面AED⊥平面A1FD1
C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直
D.以上都不对
解析以D为原点, 分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.
答案B3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是 .?
解析因为a∥b,所以l⊥β.
答案l⊥β探究一探究二探究三当堂检测4.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.探究一探究二探究三当堂检测
答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线的方向向量,所以l1与l2垂直.
垂直关系与方向向量、法向量的关系【做一做1】 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1与l2相交,但不垂直
C.l1⊥l2
D.不能确定
解析因为a·b=0,所以a⊥b,故l1⊥l2.
答案C
【做一做2】 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2 B.-5
C.4 D.-2
解析因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
答案B做一做3】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. ( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( )
(5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√探究一探究二探究三当堂检测探究一利用向量方法证明线线垂直 例1 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三当堂检测证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC. 探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法证明线面垂直
例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明 与法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2 ,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.探究一探究二探究三当堂检测证明因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测探究三利用向量方法证明面面垂直
例3 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.探究一探究二探究三当堂检测解由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明由题意知直线AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测 思想方法
坐标法证明线面垂直
典例如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.探究一探究二探究三当堂检测证明法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测方法总结 1.坐标法证明线面垂直有两种思路
法一:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
法二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)求出平面的法向量;
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用法二,否则常常选用法一解决.探究一探究二探究三当堂检测1.已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中:①n1∥n2?α∥β;②n1⊥n2?α⊥β;③v∥n1?l∥α;④v⊥n1?l⊥α.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴①②正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴③④都错误.故选B.
答案B探究一探究二探究三当堂检测2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( )
A.平面AED∥平面A1FD1
B.平面AED⊥平面A1FD1
C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直
D.以上都不对
解析以D为原点, 分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.
答案B3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是 .?
解析因为a∥b,所以l⊥β.
答案l⊥β探究一探究二探究三当堂检测4.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.探究一探究二探究三当堂检测