高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件（24张）

课件24张PPT。1.2　充分条件与必要条件1.推出符号“?”的含义
(1)一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p?q”;
(2)如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作
“p q”.
【做一做1】 用推出符号“?和 ”表示下列命题:
(1)p:a>b,q:ac>bc;
(2)p:a>b,q:a+c>b+c.
解(1)p q;(2)p?q.
【思考】用恰当的语言表述下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;
②只有同心协力,才可能把事情办好.
答案①落后是骄傲自满的必然后果,即骄傲自满是落后的充分条件.
②同心协力是办好事情的必要条件.2.充分条件与必要条件
一般地,如果p?q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.
名师点拨1.若p?q,则说p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立就足够了;若p?q,则说q是p的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可.
2.注意以下说法是等价的:①p?q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
3.判断充分条件或必要条件的实质是判断命题“若p,则q”或其逆命题的真假.【做一做2】 用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的　　　　,q是p的　　　　　　　.?
(2)若p:θ= ,q:cos θ=0,则p是q的　　　　,q是p的　　　　　.?
(3)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的　　　　　　,q是p的　　　　　　　.?
答案(1)充分条件　必要条件　(2)充分条件　必要条件　(3)必要条件　充分条件3.充要条件
一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然q也是p的充要条件.
名师点拨1.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件,否则,都不能说p是q的充要条件.
2.命题真假与充分条件、必要条件、充要条件的关系:【做一做3】 下列各条件中,p是q的充要条件的是 (　　)
A.p:a=b,q:
B.p:xy>0,q:xy>0
C.p:直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,q:a=1
D.p:m>0,q:关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根
解析在B选项中,p?q,且q?p,所以p是q的充要条件.
答案B
【做一做4】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.(　　)
(2)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.(　　)
(3)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(　　)
答案(1)√　(2)×　(3)√探究一探究二当堂检测 探究一充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 指出下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:0(2)p:函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,q:a=2;
(3)p:x-3, x,x成等比数列,q:x=4;
(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;
(5)p:m思路分析针对每个命题,分析判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件的定义得出结论.探究一探究二当堂检测解(1)当0(2)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,当a>1时,得a2=4,所以a=2,当00,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,可得a=2或a= ,即p q;但当a=2时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,即q?p,故p是q的必要不充分条件.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测反思感悟充分条件、必要条件的判断方法及注意点
1.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意以下几点:
(1)确定条件p是什么,结论q是什么.
(2)尝试从条件推结论,若p?q,则充分性成立,p是q的充分条件.
(3)尝试从结论推条件,若q?p,则必要性成立,p是q的必要条件.探究一探究二当堂检测2.判断充分必要条件的常用方法.
(1)定义法:按如下步骤进行:①分清条件与结论,即分清哪一个是条件,哪一个是结论;②判断推式的真假,即判断p?q及q?p的真假;③下结论,即根据推式及定义下结论.
(2)等价法:将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题.
(3)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,我们可以借助集合间的基本关系进行充要条件的判断,即写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:
①若A?B,则p是q的充分条件;②若A?B,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.探究一探究二当堂检测变式训练1指出下列各命题中,p是q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(4)p:a∠B?BC>AC,所以p是q的充分必要条件.
(2)因为x=2且y=6?x+y=8,即??q???p,但??p ??q,所以p是q的充分不必要条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.探究一探究二当堂检测探究二充要条件的证明
例2 求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0思路分析第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“00对一切实数x都成立”.
第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论?条件”;再证充分性:“条件?结论”.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测反思感悟充要条件的证明解题策略
1.充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
2.证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
3.证明p的充要条件是q,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.探究一探究二当堂检测变式训练2在△ABC中,求证角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
证明充分性:
在△ABC中,A+B+C=180°.
∵B=60°,∴A+C=120°,
∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.
必要性:
∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.探究一探究二当堂检测思维辨析
一题多变——充分条件、必要条件、充要条件的应用
典例已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件,所以p?q且q p.
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,
所以 解得m≥9或m>9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测延伸探究本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围.
解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),探究一探究二当堂检测1.“x>0”是“x2 020>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析当x>0时,可以推得x2 020>0;但当x2 020>0时,不可以推得x>0,故“x>0”是“x2 020>0”的充分不必要条件,故选A.
答案A
2.“α≠ ”是“sin α≠1”的(　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A探究一探究二当堂检测3.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)内为增函数”的(　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析由函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2a,+∞)内为增函数,得2a≤2,即a≤1,故选B.
答案B
4.若a∈R,则“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的　　　　　条件.(注:在“充要”“既不充分也不必要”“充分不必要”“必要不充分”中选填一个)?
解析“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”等价于a(a+1)+1×(2a)=0,即a=0或a=-3,又易知:“a=-3”是“a=0或a=-3”的充分不必要条件,即“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的充分不必要条件,故答案为充分不必要.
答案充分不必要探究一探究二当堂检测5.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明充分性:
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2= <0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2= <0,即ac<0,
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.