高中数学新人教A版选修2-1课件：习题课——抛物线的综合问题及应用（31张）

课件31张PPT。习题课——抛物线的综合问题及应用1.抛物线定义的应用
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离.
2.抛物线的焦半径与焦点弦
(1)抛物线的焦半径
抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:(2)抛物线的焦点弦
过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
①|AB|=x1+x2+p;
②AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;
③A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即⑤以AB为直径的圆必与准线相切. 【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为(　　)
A.20 B.8
C.22 D.24
解析设P(x0,12),则x0=18,所以|PF|=x0+ =20.
答案A解析抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6.
答案C【做一做3】 过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为(　　)
A.8 B.16 C.32 D.61
解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.
答案B【做一做4】 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2- =1的右焦点重合,则实数p的值为　　　　　.?答案4 【做一做5】 已知点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,点A(3,0),则|PA|的最小值为　　　　　.?探究一探究二探究三当堂检测 探究一利用抛物线的定义解决问题
例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于(　　)答案B反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　.?探究一探究二探究三当堂检测例2 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.思路分析根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.探究一探究二探究三当堂检测解如图所示,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,
当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立.
所以(|PA|+|PF|)min
此时yP=2,代入抛物线得xP=2,则点P的坐标为(2,2).
故|PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为(2,2).反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为(　　)解析如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为所以点P的坐标为(2,2).
答案C探究一探究二探究三当堂检测探究二抛物线的焦点弦问题
例3 已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程.
思路分析依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟求抛物线焦点弦的长度的两种方法
一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.
(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;(1)解依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).
设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y整理得x2-3x+1=0,
所以x1+x2=3,x1x2=1.
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.探究一探究二探究三当堂检测(2)证明设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),探究一探究二探究三当堂检测 探究三与抛物线有关的最值问题
例4 在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将抛物线方程改为x2=-2y,其他条件不变,结果又将如何?反思感悟与抛物线有关的最值问题的解决方法
解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.探究一探究二探究三当堂检测变式训练4已知点P是抛物线y2=4x上任意一点,点Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　　.?探究一探究二探究三当堂检测规范解答
抛物线中的定点与定值问题
典例如图所示,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= ,写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.探究一探究二探究三当堂检测【规范展示】
设直线AB的斜率为k(k≠0).
因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k≠0).
又直线AB的方程是y=k(x-4)+2.消去y整理得,
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测【答题模板】
第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系.
?
第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标.
?
第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标.
?
第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果.
?
第5步:得出结论.探究一探究二探究三当堂检测失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程;
(2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的坐标;
(3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标;
(4)化简整理出现错误.探究一探究二探究三当堂检测1.抛物线x2=2py(p>0)上一点(4,1)到其焦点的距离d=(　　)
A.4 B.5
C.7 D.8
解析将点(4,1)代入x2=2py,得p=8,则由抛物线定义得到d=1+ =5.故选B.
答案B探究一探究二探究三当堂检测2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:x2+y2-2x-8=0相切,则抛物线方程为(　　)
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=6x D.y2=8x
解析圆x2+y2-2x-8=0可化为(x-1)2+y2=9,
抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=- ,
∵抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-8=0相切,
∴1+ =3,解得p=4.抛物线方程为y2=8x.故选D.
答案D
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=　　　　　.?
解析|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案8探究一探究二探究三当堂检测4.抛物线y=x2上的点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是　　　　　.?
解析设与直线y=2x-4平行且与y=x2相切的直线方程为y=2x+b,由
得x2-2x-b=0,所以Δ=4+4b=0,解得b=-1,得切点的横坐标为x=1,故所求点的坐标为(1,1).
答案(1,1)探究一探究二探究三当堂检测5.已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,求证:直线AB经过一个定点.