高中数学新人教A版选修2-1课件：习题课——椭圆的综合问题及应用（37张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版选修2-1课件：习题课——椭圆的综合问题及应用（37张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 21:51:06 | ||
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文档简介
课件37张PPT。习题课——椭圆的综合问题及应用1.焦点三角形问题
(1)设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
(2)焦点三角形的周长为2a+2c.焦点三角形的面积通常有两种
(3)求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理、余弦定理等知识进行求解.【思考1】类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆 =1(a>b>0)的位置关系的判定吗?【思考2】类比直线与圆的位置关系,你能给出直线与椭圆有几种位置关系?
答案有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.2.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆有三种位置关系:相交、相切、相离.
(2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0答案C 【做一做2】 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( ) 解析因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,这里c=1,a=2,故轨迹方程为
答案CA.0 B.1 C.2 D.无数个 答案C 【做一做4】 已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于 .?探究一探究二探究三当堂检测 探究一椭圆的焦点三角形问题
例1 设P是椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面积;
(2)求点P的坐标.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆定义的应用
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程,因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
(3)解决焦点三角形的面积问题时,既要用到椭圆的定义,又要运用余弦定理,还要通过配方技巧,采用整体运算的思想,代入三角形的面积公式求得.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1已知椭圆C的方程为 =1,两焦点为F1,F2.
(1)若点A在椭圆上,且|AF1|=2|AF2|,求cos∠F1AF2;
(2)若点P在椭圆上,且∠PF1F2=90°,求△PF1F2的面积.探究一探究二探究三当堂检测(2)由(1)知a=2,|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由勾股定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4.探究一探究二探究三当堂检测探究二与椭圆有关的轨迹问题
例2 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
思路分析根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟定义法求轨迹方程
解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是椭圆(或椭圆的一部分).探究一探究二探究三当堂检测变式训练2设A(-2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为 .?
解析由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=4.
根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2,
所以b2=a2-c2=5.
又因为A,B,C三点构成三角形,所以点C不能在x轴上,探究一探究二探究三当堂检测探究三直线与椭圆的位置关系问题 例3 已知椭圆 =1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
解方法一:根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,探究一探究二探究三当堂检测方法二:点差法
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.
∵点M(2,1)为线段AB的中点,
∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.探究一探究二探究三当堂检测方法三:对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),
由于点M(2,1)为线段AB的中点,
则另一个交点为B(4-x,2-y).
∵A,B两点都在椭圆上,
①-②,得x+2y-4=0.
即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究在本例中求弦AB的长. 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟方程思想解决直线与椭圆的位置关系
解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.
(1)求线段AB的中点坐标;
(2)求△OAB的面积.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测思想方法
椭圆中的最值问题典例如图,点A,B分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.思路分析(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理;
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解;
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测3.若点O和点F分别为椭圆 +y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析依题意可得F(-1,0),设P(x,y),
则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.
因为 +y2=1,
所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,
故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.
答案B探究一探究二探究三当堂检测4.已知点P是椭圆 =1上一点,以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为? .?
解析设P点的纵坐标为yP,则 ·|F1F2|·|yP|=1.
由c2=a2-b2,得c2=5-4=1,
所以c=1.所以 ·2·|yP|=1.
所以|yP|=±1,代入椭圆方程求得横坐标.探究一探究二探究三当堂检测5.已知F1,F2是两定点,且|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,求动点M的轨迹方程.
解因为|F1F2|=8,且动点M满足|MF1|+|MF2|=10>8=|F1F2|,
由椭圆定义知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点,焦距为8的椭圆.
所以a=5,c=4,从而b2=a2-c2=9.
(1)设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
(2)焦点三角形的周长为2a+2c.焦点三角形的面积通常有两种
(3)求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理、余弦定理等知识进行求解.【思考1】类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆 =1(a>b>0)的位置关系的判定吗?【思考2】类比直线与圆的位置关系,你能给出直线与椭圆有几种位置关系?
答案有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.2.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆有三种位置关系:相交、相切、相离.
(2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0答案C 【做一做2】 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( ) 解析因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,这里c=1,a=2,故轨迹方程为
答案CA.0 B.1 C.2 D.无数个 答案C 【做一做4】 已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于 .?探究一探究二探究三当堂检测 探究一椭圆的焦点三角形问题
例1 设P是椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面积;
(2)求点P的坐标.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟椭圆定义的应用
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程,因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
(3)解决焦点三角形的面积问题时,既要用到椭圆的定义,又要运用余弦定理,还要通过配方技巧,采用整体运算的思想,代入三角形的面积公式求得.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1已知椭圆C的方程为 =1,两焦点为F1,F2.
(1)若点A在椭圆上,且|AF1|=2|AF2|,求cos∠F1AF2;
(2)若点P在椭圆上,且∠PF1F2=90°,求△PF1F2的面积.探究一探究二探究三当堂检测(2)由(1)知a=2,|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由勾股定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4.探究一探究二探究三当堂检测探究二与椭圆有关的轨迹问题
例2 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
思路分析根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟定义法求轨迹方程
解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是椭圆(或椭圆的一部分).探究一探究二探究三当堂检测变式训练2设A(-2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为 .?
解析由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=4.
根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2,
所以b2=a2-c2=5.
又因为A,B,C三点构成三角形,所以点C不能在x轴上,探究一探究二探究三当堂检测探究三直线与椭圆的位置关系问题 例3 已知椭圆 =1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
解方法一:根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,探究一探究二探究三当堂检测方法二:点差法
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.
∵点M(2,1)为线段AB的中点,
∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.探究一探究二探究三当堂检测方法三:对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),
由于点M(2,1)为线段AB的中点,
则另一个交点为B(4-x,2-y).
∵A,B两点都在椭圆上,
①-②,得x+2y-4=0.
即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究在本例中求弦AB的长. 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟方程思想解决直线与椭圆的位置关系
解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.
(1)求线段AB的中点坐标;
(2)求△OAB的面积.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测思想方法
椭圆中的最值问题典例如图,点A,B分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.思路分析(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理;
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解;
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测答案C 探究一探究二探究三当堂检测3.若点O和点F分别为椭圆 +y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析依题意可得F(-1,0),设P(x,y),
则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.
因为 +y2=1,
所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,
故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.
答案B探究一探究二探究三当堂检测4.已知点P是椭圆 =1上一点,以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为? .?
解析设P点的纵坐标为yP,则 ·|F1F2|·|yP|=1.
由c2=a2-b2,得c2=5-4=1,
所以c=1.所以 ·2·|yP|=1.
所以|yP|=±1,代入椭圆方程求得横坐标.探究一探究二探究三当堂检测5.已知F1,F2是两定点,且|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,求动点M的轨迹方程.
解因为|F1F2|=8,且动点M满足|MF1|+|MF2|=10>8=|F1F2|,
由椭圆定义知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点,焦距为8的椭圆.
所以a=5,c=4,从而b2=a2-c2=9.