第2章 1 生活中的变量关系

§1　生活中的变量关系
学习目标　1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．
知识点一　依赖关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
答案　该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
梳理　在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
知识点二　函数关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
答案　每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
梳理　当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
知识点三　依赖关系与函数关系
思考　在知识点二的思考中，h是t的函数吗？t是h的函数吗？h，t有依赖关系吗？
答案　h是t的函数；t不是h的函数；h，t有依赖关系．
梳理　函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量.
类型一　依赖关系与函数关系的辨析
例1　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
考点　
题点　
解　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中，正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上，①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
反思与感悟　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
跟踪训练1　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
考点　
题点　
解　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型二　变量关系的表示
例2　声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图，由图可看出变量__________随________的变化．
(2)用x表示y的关系式为________．
(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．
考点　
题点　
答案　(1)音速　气温　(2)y＝x＋331　(3)1721
解析　(1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，
故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22℃时音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1655＝1721(米)．
反思与感悟　借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律．
跟踪训练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
考点　
题点　
解　(1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
1．下列说法不正确的是(　　)
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
考点　
题点　
答案　D
解析　A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．
2．下列各变量间不存在依赖关系的是(　　)
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
考点　
题点　
答案　D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)(　　)
考点　
题点　
答案　A
解析　开始一段时间路程逐渐增大，速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．(填序号)
考点　
题点　
答案　①③④
解析　由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．
5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…
(1)写出x与y的关系式：________.
(2)当x＝2.5时，y＝________.
考点　
题点　
答案　(1)y＝2x　(2)5
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
一、选择题
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　)
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
考点　
题点　
答案　A
解析　积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是(　　)
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
考点　
题点　
答案　D
解析　当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．
3．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是(　　)
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
考点　
题点　
答案　C
解析　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．
4．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km)
05001000…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．无法确定
考点　
题点　
答案　C
解析　∵800g<1000g，∴适用表格给出的邮资标准．
∵1000<1200<1500，∴应付邮资7.00元．
5．下列两个变量之间不是函数关系的为(　　)
A．角度和它的正弦值
B．正方体的边长和体积
C．正n边形边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
考点　
题点　
答案　D
6．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是(　　)
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家
考点　
题点　
答案　B
解析　水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．
二、填空题
7．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
24K
22K
21K
18K
14K
含金量%
99以上
91.7
87.5
75
58.5
K数
12K
10K
9K
8K
6K
含金量%
50
41.66
37.5
33.34
25
饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大，含金量________．
考点　
题点　
答案　函数　越高
8．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.
考点　
题点　
答案　(1)甲　(2)8
解析　设甲、乙的速度分别为v1，v2，
则v1＝＝(m/s)，v2＝＝8(m/s)，v1>v2.
9．某公司生产某种产品的成本为1000元，以1100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入______，它们之间是______关系．
考点　
题点　
答案　增加　函数
10．圆柱的高为10cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为_____，当底面半径从2cm变化到5cm时，圆柱的体积由_____cm3变化到____cm3.
考点　
题点　
答案　圆柱底面半径　圆柱的体积　V＝10πr2　40π　250π
解析　圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．
三、解答题
11．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
考点　
题点　
解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00，他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
12．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
考点　
题点　
解　(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
四、探究与拓展
13．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据此图，设计一个问题，并解答所设计的问题．
考点　
题点　
解　设计问题就是从图像中获取有关信息．例如，提出下列问题：
问题1：饮水机中水的最高温度是多少？最低温度是多少？
解：水的最高温度为96℃，最低温度约为91℃，
问题2：水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？
解：10分钟后水的温度约为93℃，35分钟时水的温度约为95℃.
问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？
解：约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．