第2章 2.1 函数概念

§2　对函数的进一步认识
2．1　函数概念
学习目标　1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．
知识点一　函数的概念
思考　初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？
答案　因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念．
梳理　函数的概念：
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．
知识点二　函数三要素
思考　函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案　两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
梳理　一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．
两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．
(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．
知识点三　区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．(　×　)
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(　×　)
3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(　√　)
4．区间不可能是空集．(　√　)
类型一　函数关系的判断
命题角度1　给出三要素判断是否为函数
例1　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1　下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　C
解析　A中，当x＝0时，无意义；B中，当x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．
命题角度2　给出图形判断是否为函数图像
例2　下列图形中不是函数图像的是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　A
解析　A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图像，其余B、C、D均符合函数定义．
反思与感悟　(1)判断一个图像是否为函数图像的方法：作任何一条垂直于x轴的线，不与已知图像有两个或两个以上的交点的就是函数图像．
(2)函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值，故判断图形是否为函数图像，主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系是否满足函数定义．
跟踪训练2　若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
解析　A中，定义域为[－2,0]，不符合题意；
B中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意；
C中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；
D中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意．
类型二　已知函数的解析式，求其定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x<2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
反思与感悟　求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3　函数f(x)＝的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　{x|x≥0且x≠1}
解析　要使有意义，需满足解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三　函数相等
例4　下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同，所以不是同一函数；
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域相同，所以与y＝x是同一函数；
(3)y＝＝|x|＝y≥0；且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以与y＝x不是同一函数；
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以与y＝x不是同一函数．
反思与感悟　在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．
跟踪训练4　下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝，y2＝.
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
解　(1)两函数定义域不同，所以两函数不相同．
(2)y1＝的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相同．
类型四　对于f(x)，f(a)的理解
例5　(1)已知函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________.
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　14
解析　f(a)＝＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
(2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
解　①因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
③f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
反思与感悟　f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．
跟踪训练5　已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值或解析式综合
解　(1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1).
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　)
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
2．区间(0,1)等于(　　)
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0考点　区间的概念
题点　区间概念的理解
答案　C
3．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　C
4．设f(x)＝，则等于(　　)
A．1B．－1C.D．－
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①②B．①③C．③④D．①④
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
答案　C
解析　①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f(　)中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4B．3C．2D．1
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　B
解析　根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
考点　相等函数
题点　判断函数是否为相等函数
答案　D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　要使函数有意义，需
解得x≤1且x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
A．π2 B．π
C. D．不确定
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　由函数解析式可知该函数为常函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图像的只可能是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　D
解析　A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　D
解析　组装第A件产品用时15分钟，即f(A)＝15.
∵A≥A，∴f(A)＝＝15，①
∴必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
7．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点　函数的值域
题点　求函数的值域方法综合
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，y＝0?[1，＋∞)，A不对；
对于B，当x＝0时，y＝－1?[1，＋∞)，B不对；
对于D，当x＝5时，y＝＝?[1，＋∞)，D不对，故选C.
二、填空题
8．函数y＝＋的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　[2，＋∞)
解析　要使函数式有意义，需所以x≥2.
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________________．
考点　函数的值域
题点　求函数的值域
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
10．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　1
解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
11．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　3
解析　f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
考点　
题点　
解　∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
故函数f(2x2－2)的定义域为.
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于(　　)
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
考点　
题点　
答案　B
解析　f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…
＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f的值．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　中心对称函数倒序相加法求函数值的和
(1)解　因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)证明　f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)解　由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…，
f(2018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f＝2018.