第2章 2.2（1） 函数的表示法(一)

2．2　函数的表示法(一)
学习目标　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．
知识点一　解析法
思考　一次函数如何表示？
答案　y＝kx＋b(k≠0)．
梳理　一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
知识点二　图像法
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．
知识点三　列表法
思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案　对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理　用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．
函数三种表示法的优缺点：
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(　×　)
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图像．(　×　)
3．函数y＝f(x)的图像上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(　√　)
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　√　)
类型一　解析式的求法
例1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f＝x2＋；
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
解　∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟　(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
解　设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f＋f(x)＝x(x≠0)．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二　图像的画法及应用
命题角度1　画函数图像
例2　试画出函数y＝的图像．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.
x＝±时，y＝.
利用以上五点描点连线，即得函数y＝的图像如下：
反思与感悟　描点法作函数图像的三个关注点
(1)画函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2　作出下列函数的图像并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　(1)列表：
x
0

1

2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，
观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1



…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2　函数图像的应用
例3　已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　[－2,4]∪[5,8]　[－4,3]
解析　函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟　函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3　函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图像如图，
f(x)与直线y＝m图像有2个不同交点，
由图易知－1类型三　列表法表示函数及应用
例4　已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
考点　函数的表示法
题点　函数的表示法
解　∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
反思与感悟　列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
跟踪训练4　若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
2
2
1
0
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
考点　函数的表示法
题点　函数的表示法
解　(1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1B．2C．3D．4
考点　函数的表示法
题点　列表法表示函数
答案　A
2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
答案　A
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(　　)
考点　函数图像
题点　函数图像的判断与理解
答案　C
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值、最小值．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，y有最小值－5.
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图像
常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．
一、选择题
1．一次函数f(x)的图像过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图像上的是(　　)
A．(2,1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(3,2)
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　C
解析　设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
又图像过点A(－1,0)，B(2,3)，
则有
解得故y＝x＋1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
2．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
答案　C
解析　由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
3．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A.B.C.D.－1
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数的解析式
答案　B
解析　令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
4.函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　A
解析　由图像知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故选A.
5．函数y＝的大致图像是(　　)
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C、D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　设t＝3x＋2，则x＝，
所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
7．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．6
C．1 D．0
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　方法一　令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二　f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三　令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.
二、填空题
8．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝，则f的值为______．
考点　求函数值
题点　已知函数解析式求函数值
答案　15
解析　令1－2x＝，则x＝，
∴f＝＝15.
9．若正比例函数y＝(m－1)的图像经过二、四象限，则m＝________.
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　－2
解析　因为y＝(m－1)是正比例函数，所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图像经过二、四象限，所以m＝－2.
10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
考点　函数的表示法
题点　列表法表示函数
答案　2或4
解析　x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
故满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
11．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
答案　f(x)＝－x＋
解析　因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由①②解得f(x)＝－x＋.
三、解答题
12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图像，容易发现当x1(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
四、探究与拓展
14．已知函数p＝f(m)的图像如图所示，则
(1)函数p＝f(m)的定义域为________．
(2)函数p＝f(m)的值域为________．
(3)当p∈________时，只有唯一的m值与之对应．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　(1)[－3,0]∪[1,4]　(2)[－2,2]　(3)(0,2]
解析　(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
15．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；
(2)已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2.由f(x＋1)－f(x)＝x－1，
得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，得a＝，b＝－.
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋2.
(2)由3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，①
x用－x代换得3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3，②
解①②得f(x)＝x＋.