第2章 2.2（2）～2.3 函数的表示法(二) 映　射

2．2　函数的表示法(二)
2．3　映　射
学习目标　1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．
知识点一　分段函数
思考　设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x<0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？
答案　是函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理　(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．
知识点二　映射
思考　设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？
答案　因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．
梳理　映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
函数一定是映射，映射不一定是函数．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(　×　)
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.(　×　)
3．分段函数的图像一定是不连续的．(　×　)
4．如果把“函数”和“映射”当成两个集合A，B，则A(B.(　√　)
类型一　建立分段函数模型
例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，
又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示：
反思与感悟　当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．
跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图像如图所示：
类型二　研究分段函数的性质
命题角度1　给x求y
例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2，
∵－∈(－∞，－2]，
∴f＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f＝f＝2＋2＝－.
引申探究　
本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解　当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟　分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图像．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图像如下：
命题角度2　给y求x
例3　已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于①
或②
解①，x∈?，解②得x>.
综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟　已知函数值求x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出x的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
类型三　映射的概念
例4　以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
解　(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．
反思与感悟　映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
跟踪训练4　设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是(　　)
A．f：x→y＝x2
B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4
D．f：x→y＝4－x2
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
答案　D
解析　对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.
1．如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
考点　映射的概念
题点　判断对应是否为映射
答案　A
2．f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　D
3．设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)
A．1B．0C．2D．－1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2或2
B．2或－
C．－2
D．2或－2或－
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．π
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
1．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
2．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A，B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.
一、选择题
1．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　当α≤0时，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
2．已知函数f(n)＝则f(5)的值是(　　)
A．4B．48C．240D．1440
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
3．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))等于(　　)
A．π B．0
C．2 D．π＋1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
4．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是(　　)
A．?
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
考点　分段函数
题点　分段函数应用问题
答案　A
解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
6．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C. D.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1.
7．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为(　　)
A．5B．6C．8D．9
考点　
题点　
答案　C
解析　用树状图写出所有的映射为：
a→d　a→e共8个．
二、填空题
8．函数f(x)＝的定义域是________．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　[0，＋∞)
解析　定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
9．函数f(x)的图像如图，则函数f(x)的解析式为__________________．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　f(x)＝
解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，
∴f(x)＝2x.
当1当x≥2时，f(x)＝3，
∴f(x)＝
10．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
考点　分段函数
题点　分段函数与不等式结合
答案　{x|x≤1}
解析　当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
11．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　(－∞，1]
解析　由题意知f(x)＝
画出图像为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
12．设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，
f(0)＝c，
f(－1)＝(－1)2－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴
解得
则f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.
由于x＝1>0，故舍去．
当x>0时，由f(x)＝x得x＝2，
∴方程f(x)＝x的解为－2,2.
13．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f＝f(2)＝2×2＝4.
∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{1,2,3，a}，B＝{4,7，b4，b2＋3b}，其中a∈N＋，b∈N＋.若x∈A，y∈B，映射f：A→B使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，则a和b的值分别为________．
考点　映射的概念
题点　映射中的参数问题
答案　5,2
解析　∵A中元素x对应B中元素y＝3x＋1，∴A中元素1的像是4,2的像是7,3的像是10，∴b4＝10或b2＋3b＝10.又b∈N＋，∴b2＋3b＝10，解得b＝2.∵a的像b4＝16，∴3a＋1＝16，解得a＝5.
15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围．
考点　分段函数
题点　分段函数的综合应用
解　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图像如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图像无交点．