第2章 3（1） 函数的单调性(一)

§3　函数的单调性(一)
学习目标　1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一　函数的单调性
思考　画出函数f(x)＝x，f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x，f(x)＝x2的图像的升降情况如何？
答案　两函数的图像如下：
函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
梳理　单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．
很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．
知识点二　函数的单调区间
思考　我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？
答案　f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．
梳理　一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　×　)
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(　×　)
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(　√　)
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(　×　)
类型一　求单调区间并判断单调性
例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．
反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．
跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　先画出f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，
其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二　证明单调性
例2　证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
考点　函数的单调性的判定与证明
题点　定义法证明具体函数的单调性
证明　f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵0≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2　求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
考点　函数的单调性的判定与证明
题点　定义法证明具体函数的单调性
证明　设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
类型三　单调性的应用
命题角度1　利用单调性求参数范围
例3　若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.∪
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数、分段函数单调性求参数范围
答案　A
解析　要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a<.
反思与感悟　分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析　由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2　用单调性解不等式
例4　已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
解　f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟　若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小关系，可得f(x1)，f(x2)的大小关系；由f(x1)，f(x2)的大小关系，可得x1，x2 的大小关系．
跟踪训练4　在例4中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
解　∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
∴所求a的取值范围是.
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是(　　)
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　C
2．函数y＝的减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　C
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　B
4．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A．x<1 B．x>－1
C．－11
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　C
5．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　
解析　f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝3，
∴解得11．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都递减，未必有f(x)在A∪B上递减．
2．对增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)递增，f(x)－h(x)递增，②－f(x)递减，③递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
一、选择题
1．函数y＝的单调区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　A
解析　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　C
解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　B
解析　由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上递增，
∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
考点　函数单调性的判定与证明
题点　判断函数的单调性
答案　A
解析　设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性比较函数值大小
答案　C
解析　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　A
解析　画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
7．已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
考点　函数的单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　B
解析　对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义．
二、填空题
8．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图像与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数单调性求参数范围
答案　(－1,0)
解析　依题意解得－19．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　
解析　当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　
解析　由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
11．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的递减区间是________．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　[－1,1]
解析　f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，
∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上递减．
三、解答题
12．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　∵y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图像如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内递减，求a的取值范围．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数、分式函数单调性求参数范围
(1)证明　设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解　设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述0四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
考点　
题点　
答案　(0,1]
解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
考点　函数单调性的应用
题点　函数单调性的综合应用
解　(1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有f＝f(2)＋f，
即f(2)＋f＝0，
又f(2)＝1，∴f＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)＋f＝f(x2)，
即f(x2)－f(x1)＝f.
∵>1，故f>0，
即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)由(1)知，f＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f＝f(4x－3)
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴
解得解集为.