第2章 5（1） 简单的幂函数(一)

§5　简单的幂函数(一)
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．
知识点一　幂函数的概念
思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案　底数为x，指数为常数．
梳理　如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
知识点二　幂函数的图像与性质
思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像．
填写下表：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
单调性
增
在[0，＋∞)上增加，在(－∞，0]上减少
增
增
在(0，＋∞)上减少，在(－∞，0)上减少
梳理　根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；
(3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(　×　)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　)
3．与定义域相同．(　×　)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)
类型一　幂函数的概念
例1　已知是幂函数，求m，n的值．
考点　
题点　
解　由题意得解得
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟　只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　
题点　
答案　B
解析　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数．
类型二　幂函数的图像及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)考点　
题点　
解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1反思与感悟　幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
考点　
题点　
答案　A
解析　由条件知，M，N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A.
类型三　幂函数性质的应用
命题角度1　比较大小
例3　设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　B
解析　∵y＝x在R上为减函数，∴即a∴即a>c.∴b>a>c.故选B.
反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
解　(1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又>，∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.30.3>②
由①②知0.3>
命题角度2　幂函数性质的综合应用
例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N＋)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
跟踪训练4　已知幂函数(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　(1)∵m∈N＋，
∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)
A.B．1C.D．2
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)的值等于(　　)
A．16B.C．2D.
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　D
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
考点　幂函数性质
题点　幂函数定义域
答案　A
4．下列是的图像的是(　　)
考点　幂函数图像
题点　根据解析式选函数图像
答案　B
5．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质
答案　D
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
一、选择题
1．函数y＝的图像大致是(　　)
考点　幂函数图像
题点　根据解析式选图像
答案　B
解析　函数y＝＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为>1，在第一象限图像下凸．故选B.
2．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　C
解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又03．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)
考点　幂函数图像
题点　幂函数图像变换
答案　B
解析　y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图像是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图像是下降的，故选B.
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　A
解析　根据幂函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，由y＝x在第一象限的图像(图略)，可知c>b.故a>c>b.
5．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3B．1C．2D．1或－3
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)是增加的，不合题意，故选B.
6．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
考点　幂函数图像
题点　同一坐标系内不同幂函数相对位置
答案　B
解析　由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图像在y＝x的下方，y＝xn的图像在y＝x－1的下方，所以m<1，n<－1，从而07．对于幂函数f(x)＝，若0A．f>
B．f<
C．f＝
D．无法确定
考点　幂函数的图像
题点　幂函数的图像与性质
答案　A
解析　幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，大致图像如图所示．
设A(x1,0)，C(x2,0)，其中0(|AB|＋|CD|)，∴f>，故选A.
二、填空题
8．判断大小：5.25－1________5.26－1.(填“>”或“<”)
考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　>
解析　∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，
又5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.
9．函数f(x)＝(x＋3)－2的增区间是________．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质应用
答案　(－∞，－3)
解析　y＝x－2＝的增区间为(－∞，0)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位长度得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．
10．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，则函数f(x)的解析式是________．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质应用
答案　f(x)＝x－1
解析　∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
11．若函数f(x)＝x2－|x＋a|的图像关于y轴对称，则实数a＝________.
考点　
题点　
答案　0
解析　∵函数f(x)＝x2－|x＋a|的图像(图略)关于y轴对称，由图像知f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
三、解答题
12．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)－8，－；
(3)4.1，3.8，(－1.9).
考点　幂函数性质
题点　比较大小
解　(1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(2)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又－8＝－，>，∴>，
从而－<－，∴－8<－.
(3)∵4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，(－1.9)<0，∴4.1>3.8>(－1.9).
13．已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质综合应用
解　f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.
f(x)的图像可由y＝x－2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示)．
显然，图像关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，
∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5)．
四、探究与拓展
14．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)
考点　
题点　
答案　①③⑤
解析　首先画出y1＝x与y2＝x的图像(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.
若m＝0或1，则a＝b；若0若m>1，则115．已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围．
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
解　(1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，
∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，
满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，
∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)当x∈[－1,1]时是单调函数，
则≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．