第3章 1 正整数指数函数

§1　正整数指数函数
学习目标　1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．
知识点一　正整数指数函数的概念
思考　定义在N＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
2
4
8
16
32
64
128
256
…
答案　y＝2x，x∈N＋，自变量在指数上．
梳理　正整数指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
知识点二　正整数指数函数的图像特征及其单调性
思考　比较，2，3的大小，你有什么发现？
答案　>2>3，对于y＝x，x∈N＋，x越大，y越小．
梳理　函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)图像是散点图，当a>1时，在定义域上递增；当0知识点三　指数型函数
思考　y＝3·2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？
答案　不是，正整数指数函数的系数为1.
梳理　形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．
1．函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是正整数指数函数．(　√　)
2．正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)过点(0,1)．(　×　)
3．函数y＝2ax(x∈N＋)是正整数指数函数．(　×　)
类型一　正整数指数函数的概念
命题角度1　判断是否为正整数指数函数
例1　下列表达式是否为正整数指数函数？
(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝ex(x∈N＋)．
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
解　(1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x＝x，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．
反思与感悟　判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．
跟踪训练1　下列函数中是正整数指数函数的是(　　)
A．y＝－2x，x∈N＋ B．y＝2x，x∈R
C．y＝x2，x∈N＋ D．y＝x，x∈N＋
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　D
解析　结合正整数指数函数的定义可知选D.
命题角度2　根据正整数指数函数概念求参数
例2　已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·ax，则f(2)等于(　　)
A．2B．3C．9D．16
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　C
解析　∵f(x)是正整数指数函数，
∴∴a＝3，f(x)＝3x.
∴f(2)＝32＝9.
反思与感悟　解此类题的关键是找到参数应满足的条件．
跟踪训练2　函数y＝(1－3a)x是正整数指数函数，则a应满足________．
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　a<，且a≠0
解析　由解得a<，且a≠0.
类型二　正整数指数函数的图像与性质
例3　比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．
(1)y＝2x(x∈N＋)；
(2)y＝0.95x(x∈N＋)．
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
解　列表比较如下：
函数
y＝2x(x∈N＋)
y＝0.95x(x∈N＋)
图像
定义域
正整数集N＋
单调性
增函数
减函数
图像特征
由一群孤立的点组成
反思与感悟　通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．
跟踪训练3　作出下列函数(x∈N＋)的图像．
(1)y＝3x；(2)y＝x.
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
解　(1)
(2)
类型三　正整数指数函数的应用
例4　某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
考点　正整数指数函数模型
题点　复利问题
解　(1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)将a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68(元)，
即5期后本利和约为1117.68元．
反思与感悟　建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．
跟踪训练4　一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL，
x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL.
由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.
采用估算法，当x＝1时，1＝>；
当x＝2时，2＝＝<.
由于y＝x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.
1．函数y＝x(x∈N＋)的值域是(　　)
A．R B．正实数
C．N D.
考点　正整数指数函数性质
题点　值域
答案　D
2．下列函数：①y＝3x3(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝(a－3)x(a>3，x∈
N＋)．其中正整数指数函数的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　B
3．当x∈N＋时，函数y＝(a－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．a>1 D．a>2
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　D
解析　在y＝(a－1)x中，当x＝0时，y＝1.
而x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，∴a>2，故选D.
4．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是(　　)
A．增加7.84% B．减少7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　B
解析　设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，
四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.9216a，
∴×100%＝7.84%，故选B.
5．正整数指数函数f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定义域N＋上是________的．(填“增加”或“减少”)
考点　正整数指数函数性质
题点　单调性
答案　增加
解析　∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，
∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，
∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.
∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．
1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．
2．当a>1时是增函数．
3．当04．正整数指数函数的图像是一些孤立的点.
一、选择题
1．下列函数：①y＝，②y＝6x，③y＝32x，④y＝，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈
N＋)其中正整数指数函数的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　C
解析　只有②③符合题意．
2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)
A．R B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　(1－2x)＝，
∴1－2x＞0，得x＜.
3．函数y＝x，x∈N＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
考点　正整数指数函数性质
题点　单调性
答案　D
解析　因为正整数指数函数y＝x，x∈N＋的底数小于1，所以此函数是减函数．
4．函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1，x∈N＋)的图像必经过点(　　)
A．(0,1) B．(2,0) C．(2,1) D．(2,2)
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
答案　D
解析　令x＝2，则y＝2，故必经过点(2,2)．
5．中心城区现有绿化面积为1000hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为yhm2，则x，y间的函数关系为(　　)
A．y＝1000(1＋4%)x(x∈N＋)
B．y＝(1000×4%)x(x∈N＋)
C．y＝1000(1－4%)x(x∈N＋)
D．y＝1000(4%)x(x∈N＋)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　A
6．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a<0 B．－1C．0考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　B
解析　∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴07．函数y＝3×2x－3，x∈N＋，且x∈[0,4]，则y的值域是(　　)
A．{－3,3,9,21,45} B．{3,9,21,45}
C．{0,3,9,21,45} D．{－3,0,3,9,21,45}
考点　正整数指数函数性质
题点　值域
答案　B
解析　∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．
二、填空题
8．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．
考点　
题点　
答案　y＝3x(x∈N＋)
解析　将点(2,9)代入正整数指数函数的解析式y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，求出底数．
9．已知不等式(a2＋a＋2)2x>(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．
考点　单调性
题点　增加
答案　9
解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，且x∈N＋，
∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时递增的性质，得2x>x＋8，即x>8，
∴使此不等式成立的x的最小整数值为9.
10．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　10a%
解析　第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为·a%，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为a%＝2a%，
依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为x·a%(x∈N＋)．
三、解答题
11．设a>0，定义在N＋上的函数f(x)＝·(a2)x的图像经过点(2,256)，试求此函数的最值．
考点　
题点　
解　化简f(x)＝·(a2)x＝·a2x＝，由f(2)＝256知，＝256，于是a＝2，所以f(x)＝，从而知f(x)min＝f(1)＝23＝8，f(x)无最大值．
12．有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；
在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；
…
故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×6＝1458(辆)．
答　该市在2023年应投入1458辆电力型公交车．
13．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
四、探究与拓展
14．若y＝(2－3a)x为增加的正整数指数函数，则a的取值范围是________．
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　
解析　由2－3a>1，解得a<，即a的取值范围是.
15．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)的值；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．
考点　
题点　
解　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，
x∈N＋)，
因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，
即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上是增加的，
所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．