第3章 2 指数扩充及其运算性质

§2　指数扩充及其运算性质
学习目标　1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．
知识点一　分数指数幂
思考　由a2＝22(a>0)易得由此你有什么猜想？
答案　当a>0，b>0时，若am＝bn，则(m，n为非零整数)．
梳理　分数指数幂
(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝.
(2)意义
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
前提条件
a>0，m，n均为整数，m，n互素
结论
＝
＝＝
＝0，
无意义
知识点二　无理数指数幂
思考　无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？
答案　随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数．
梳理　无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.
知识点三　实数指数幂的运算性质
思考1　在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
答案　把指数扩大为全体实数后，若a<0，ax有时没有意义，如，为了运算方便，规定a>0.
梳理　一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．
思考2　初中，我们知道a≠0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？
答案　因为指数已扩充为实数，故有＝am·a－n＝am－n.既不必再区分m，n的大小，也不必区分am·an和了．
梳理　一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn，其中m，n∈R.
知识点四　实数指数幂的化简
思考　如何化简？
答案　
梳理　实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．
1．(　×　)
2．(　×　)
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.(　√　)
4．2∈R.(　√　)
类型一　根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1　分数指数幂化根式
例1　用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1)(2)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)＝.
(2)＝.
反思与感悟　实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1　用根式表示(x>0，y>0)．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　
命题角度2　根式化分数指数幂
例2　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；(3)；(4).
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)＝
(2)
(3)
(4)
反思与感悟　指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2　把下列根式化成分数指数幂．
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4).
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)
(2)
(3)
(4)
类型二　运用指数幂运算公式化简求值
例3　计算下列各式(式中字母都是正数)．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式
＝4ab0＝4a.
(3)
反思与感悟　一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3　(1)化简：
(2)化简：
(3)已知求的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)原式＝
(2)
(3)由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三　运用指数幂运算公式解方程
例4　已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　方法一　∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴
∴
方法二　∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟　指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的．
跟踪训练4　已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　由67x＝33，得由603y＝81，得
∴
∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为(　　)
A．2B．4C．6D．8
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
2．用分数指数幂表示(a>b)为(　　)
A． B．
C． D．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
3．以下说法中正确的是(以下n>1且n∈N＋)(　　)
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．任何数的n次方根都是正数
D．a的n次方根用表示
考点　
题点　
答案　A
4．()4等于(　　)
A．a16B．a8C．a4D．a2
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　D
5．计算的结果是(　　)
A．32B．16C．64D．128
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　B
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、选择题
1．化简式子[(－)2]的结果是(　　)
A.B．－C.D．－
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　C
解析　[(－)2]＝3＝＝.
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)
B．x＝－
C.＝(x，y≠0)
D.＝y
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
解析　－＝－x，x＝，＝故选C.
3.·等于(　　)
A．aB．aC．aD．a
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
解析　·＝a＝a.
4．(3－2x)中x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
解析　(3－2x)＝＝，要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
5．2，3，6这三个数的大小关系为(　　)
A．6<3<2 B．6<2<3
C．2<3<6 D．3<2<6
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
解析　2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.
∵<<，∴6<2<3.
6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于(　　)
A.B.C.D.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　D
解析　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋
＝1＋＝.
二、填空题
7．计算＝________.
考点　指数幂的运算性质
题点　指数幂的乘除运算
答案　
解析　原式＝＝47－9＝4－2＝.
8．若a＝9，则a＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　±3－5
解析　由a＝9，得(a)5＝95，即a－2＝95＝310，
所以a＝±3－5.
9．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　9
解析　a＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
10．(＋)2017×(－)2018＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　－
解析　(＋)2017×(－)2018
＝[(＋)(－)]2017×(－)
＝12017×(－)＝－.
三、解答题
11．化简：÷.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　原式＝÷
＝ab÷(ab)
＝ab÷(ab)
＝ab
＝ab.
12．化简下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0)；
(3)(a>0)．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)方法一　＝＝a＋b.
方法二　＝＝a＋b.
(2)＝＝
＝a(a>0)．
(3)－
＝－
＝a－a＝0.
13．已知x＋x－1＝3，求的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　∵x＋x－1＝3，∴(x＋x)2＝x＋x－1＋2＝5，
∵x＋x>0，∴x＋x＝，
又∵(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7，
∴＝＝.
四、探究与拓展
14．已知：315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　0
解析　因为153(5ab－bc－3ac)＝＝
＝b·3a＝1，
所以3(5ab－bc－3ac)＝0，
即5ab－bc－3ac＝0.
15．已知a>0，对于0≤r≤8，r∈N＋，式子()8－r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？
考点　
题点　
解　()8－r·r＝a·a＝a，由题意知，16－3r能被4整除才行，故r＝0，r＝4或r＝8，因此原式能化为关于a的整数指数幂的情形有三种，即a4，a，a－2.