第3章 3（1） 指数函数(一)

§3　指数函数(一)
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一　指数函数
思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二　指数函数的图像和性质
思考　函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？
答案　函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．
梳理　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x>0时，y>1；
x<0时，0(4)当x>0时，0x<0时，y>1
(5)是R上的增函数
(5)是R上的减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(　√　)
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　×　)
类型一　求指数函数的解析式
例1　已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得于是
反思与感悟　(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1　f(ax(型
例2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
反思与感悟　解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
跟踪训练2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2　af(x(型
例3　求函数y＝的定义域、值域．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟　y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3　求下列函数的定义域、值域．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三　指数函数图像的应用
命题角度1　指数函数整体图像
例4　在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图像可能是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的位置与底数的关系
答案　A
解析　根据图中二次函数图像可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B，D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
反思与感悟　函数y＝ax的图像主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数的图像过定点问题
答案　A
解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2　指数函数局部图像
例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
解　y＝|2x－1|＝
图像如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，需0<2a<1，即0反思与感悟　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用．
跟踪训练5　函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
答案　B
解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
考点　指数函数的概念
题点　指数函数的判断
答案　D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数
答案　C
3．下面关于函数y＝2x与y＝x的性质的说法不正确的是(　　)
A．定义域都是R B．值域都为R
C．单调性不同 D．均过点(0,1)
考点　指数函数的性质
题点　指数函数的性质
答案　B
解析　值域都为{y|y>0}．
4.函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
答案　D
5．函数f(x)＝x的定义域是________，值域是________．
考点　指数函数的值域
题点　指数函数的值域
答案　R　(0，＋∞)
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，03．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
答案　C
解析　由题意得解得a＝2.
2．函数y＝ax－a (a>0且a≠1)的大致图像可能是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的位置与底数的关系
答案　C
解析　如果函数的图像是A，那么1－a＝1?a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图像是B，那么a1－a<0?0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图像是C，那么0<1－a<1?03．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)
考点　指数函数的概念
题点　指数函数的判断
答案　D
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B对；
f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．
4．当x∈[－1,1]，函数f(x)＝2x－2的值域是(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
答案　D
解析　因为指数函数y＝2x在区间[－1,1]上是增函数，所以有2－1≤2x≤21，于是2－1－2≤2x－2≤21－2，即－≤f(x)≤0.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a[1－(b%)n] D．a(1－b%)n
考点　指数函数的实际应用
题点　指数函数的实际应用
答案　D
解析　一年后价值为a－ab%＝a(1－b%)，两年后价值为a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，…，n年后价值为a(1－b%)n，故选D.
6.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点E，B，则a等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
答案　A
解析　设点C(0，m)，则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图像上，所以两式相除得a＝2，所以m＝2，
所以a＝.
二、填空题
7．若f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
考点　
题点　
答案　125
解析　设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则a＝，
∴a＝＝5，∴f(x)＝5x，∴f(3)＝53＝125.
8．函数y＝的定义域是________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(－∞，5]
解析　要使函数式有意义，需32－2x≥0,32≥2x,25≥2x，解得x≤5.
9．若函数f(x)＝(a>1)恒过定点(1,10)，则m＝________.
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数的图像过定点问题
答案　9
解析　代入x＝1，f(1)＝a0＋m＝1＋m＝10，
∴m＝9.
10．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
考点　指数函数的定义域和值域
题点　指数函数的定义域和值域
答案　[8，＋∞)
解析　当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
三、解答题
11．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；
(2)y＝5－x－1.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0.
则3t≥30＝1.
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，
∵5－x>0，∴5－x－1>－1.
∴值域为(－1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m，最小值为n.
(1)若m＋n＝6，求实数a的值；
(2)若m＝2n，求实数a的值．
考点　
题点　
解　(1)∵无论01，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍)，
故a的值为2.
(2)当0由a＝2a2，解得a＝0(舍)或a＝，∴a＝.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)＝a，最大值为f(2)＝a2.
由a2＝2a，解得a＝0(舍)或a＝2.∴a＝2.
综上知，实数a的值为或2.
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有(　　)
A．a>1，且b<1 B．0C．00 D．a>1，且b<0
考点　
题点　
答案　D
解析　已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图像可得
即解得故D正确．
15．已知函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图像经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　(1)因为函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图像经过点，
所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
函数为减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0,2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝x－1＋1 (x≥0)∈(1,3]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1,3]．