第3章 3（2） 指数函数(二)

§3　指数函数(二)
学习目标　1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
知识点一　不同底指数函数图像的相对位置
思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案　经描点观察，在y轴右侧，2x<3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．
梳理　一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称．
知识点二　比较幂的大小
思考　若x1答案　当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以
当0梳理　一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点三　解指数方程、不等式
思考　若(a>0，且a≠1)，则x1，x2的大小关系如何？
答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)所以，当0当a＞1时，
此原理可用于解指数方程、不等式．
梳理　简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．
知识点四　与指数函数复合的函数单调性
思考　的定义域与y＝的定义域是什么关系？的单调性与y＝的单调性有什么关系？
答案　由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故的定义域与y＝的定义域相同，故研究的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0梳理　一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当01．y＝21－x是R上的增函数．(　×　)
2．若0.1a>0.1b，则a>b.(　×　)
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　×　)
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　×　)
类型一　解指数方程
例1　解下列关于x的方程．
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
解　(1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
反思与感悟　(1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1　解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
解　(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，∴
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
类型二　指数函数单调性的应用
命题角度1　比较大小
例2　比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(1)∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二　∵1.70.3>0,1.50.3＞0，且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟　当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2　比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π<0，∴－π＞0＝1，
即－π＞1.
命题角度2　解指数不等式
例3　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
解　(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思与感悟　解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　
解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈.
命题角度3　与指数函数复合的函数单调性问题
例4　(1)求函数的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
解　(1)的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减少的，
∴在(－∞，3]上是增加的．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增加的，
∴在[3，＋∞)上是减少的．
∴的增区间是(－∞，3]，
减区间是[3，＋∞)．
(2)设t＝x(t>0)，
又y＝t2－8t＋17在(0,4]上是减少的，
在[4，＋∞)上是增加的．
令x≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的增区间是[－2，＋∞)，同理可得减区间是(－∞，－2]．
反思与感悟　复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4　求下列函数的单调区间．
(2)y＝.
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
解　(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
1．若则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．aC．a考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　B
解析　∵y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，
2．方程42x－1＝16的解是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
答案　B
解析　42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．函数的递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　A
解析　∵0<<1，∴f(x)的递增区间为u(x)＝x2－1的递减区间，即(－∞，0]．
4．设0考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(1，＋∞)
解析　∵0又∵
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x＞1.
5．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　
解析　若0解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图像求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
一、选择题
1．设x<0，且1A．0C．1考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　B
解析　∵1当x＝－1时，<，即b>a，∴02．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为(　　)
A．m＋n<0 B．m＋n>0
C．m>n D．m考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　D
解析　∵0<<1，
∴f(x)＝ax＝x在R上是减少的，
又∵f(m)>f(n)，∴m3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　B
解析　由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，所以f(x)在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的．故选B.
4．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　D
解析　40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D.
5．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有(　　)
A．f(2)C．f(2)考点　
题点　
答案　B
解析　由f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，
又f(x)－g(x)＝ex，①
得f(－x)－g(－x)＝e－x，
即f(x)＋g(x)＝－e－x，②
由①＋②，①－②分别得
f(x)＝，g(x)＝－，
易得g(0)＝－1，
又因为f(x)是R上的增函数，且f(0)＝0，
所以06．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的应用
答案　D
解析　f(x)＝|3x－1|的图像如图．
由cf(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．
故有c<0，a>0.
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
∴f(c)>f(a)，即1－3c>3a－1,3c＋3a<2.
二、填空题
7．已知0.2x<25，则x的取值范围为________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(－2，＋∞)
解析　原不等式即5－x<52，∴－x<2，x＞－2.
8．若－1考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　3a>a3>a
解析　因为3a>0，a<0，a3<0，且由－1即－a3<－a，所以a3>a，因此3a>a3>a.
9．函数f(x)＝的递减区间是________．
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　(2，＋∞)
解析　函数由f(t)＝t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝t是减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．
10．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围为__________．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　与指数函数有关的恒成立问题
答案　[1，＋∞)
解析　4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，即(2x＋1)2>2－m.∵2x∈(0，＋∞)，
∴2x＋1∈(1，＋∞)，∴2－m≤1，解得m≥1.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，
解得2x>1或2x<－(舍去)，∴x>0，
∴不等式f(x)>0的解集为(0，＋∞)．
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．
设t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．
∴y＝g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)．
画出g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)的图像(如图)，
可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，
∴f(x)的值域为[－1,11]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，求不等式f(x)<－的解集．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
当x>0时，由1－2－x<－，x>，得x∈?.
综上可知x∈(－∞，－1)．
13．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝的定义域为R，
又∵f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋.
∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3，
∴0<<，∴－1<－1＋<－.
故函数f(x)的值域为.
四、探究与拓展
14．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________________．(按由大到小排列)
考点　
题点　
答案　b>a>c
解析　∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．
又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，2)上是减函数．
又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，
∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.
15．已知f(x)＝a－.
(1)求证：不论a为何实数，f(x)总是增函数；
(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
考点　
题点　
(1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，设x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，
因为x1所以2－2<0，(1＋2)(1＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)总是增函数．
(2)解　因为f(x)为奇函数，且函数定义域为R，
所以f(0)＝0，解得a＝，
所以f(x)＝－.
(3)解　由(2)知f(x)＝－，
因为2x＋1>1，所以0<<1，
所以－1<－<0，所以－所以f(x)的值域为.