第3章 4 第1课时 对　数

§4　对　数
第1课时　对　数
学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一　对数的概念
思考　解指数方程：3x＝.可化为，所以x＝.那么你会解3x＝2吗？
答案　不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．
梳理　(1)对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数log10N简记作lg_N．以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN.
知识点二　对数与指数的关系
思考　loga1(a>0，且a≠1)等于多少？
答案　设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理　一般地，对数与指数的关系如下：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
对数的性质：
(1)1的对数为零．
(2)底的对数为1.
(3)零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.(　√　)
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　)
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．(　×　)
4．若lnN＝，则N＝e.(　×　)
类型一　对数的概念
例1　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．4考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　D
解析　∵∴2反思与感悟　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1　求f(x)＝logx的定义域．
考点　对数的概念
题点　对数的概念
解　要使函数式有意义，需
解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二　应用对数的基本性质求值
例2　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
解　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.
反思与感悟　本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2　若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A．9B．8C．7D．6
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　A
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三　对数式与指数式的互化
命题角度1　指数式化为对数式
例3　将下列指数式写成对数式．
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4).
反思与感悟　指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3　(1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有(　　)
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
解析　logba＝2，故选C.
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为
(3)解方程：m＝5.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　
命题角度2　对数式化为指数式
例4　求下列各式中x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；
(4)－lne2＝x；(5)log＝x.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为log＝x，
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4　计算：(1)log927；
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设则x＝81,∴x＝16.
(3)令则x＝625,∴x＝3.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是(　　)
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　B
2．若logax＝1，则(　　)
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　C
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln1＝0
B．与log8＝－
C．log39＝2与
D．log77＝1与71＝7
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
4．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　B
解析　由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，即y＝x7z.
5．log6[log4(log381)]＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　0
解析　log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫作常用对数；
④以e为底的对数叫作自然对数．
其中说法正确的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　C
解析　①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知b＝log(a－2)(5－a)，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　C
解析　由得23．方程＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　A
解析　∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
4．下列四个等式：
①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.
其中正确的是(　　)
A．①③B．②④C．①②D．③④
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　C
解析　①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；
③若lgx＝10，则x＝1010；④若lnx＝e，则x＝ee.
5.－1＋log0.54的值为(　　)
A．6B.C．0D.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
解析　设log0.54＝x，则0.5x＝4，即2－x＝22，∴x＝－2.－1＋log0.54＝2－2＝0.
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15B．75C．45D．225
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化结论的应用
答案　C
解析　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
二、填空题
7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　
解析　令log2x＝，则x＝2＝，
即f＝f(log2)＝.
8．81＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　8
解析　设log81＝t，则()t＝81,3＝34，＝4，t＝8.
9．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　
解析　∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x.
∴x＝(23)＝＝＝.
10．已知a＝log32，那么log38－2log36的结果用a表示是________．
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　a－2
解析　log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝a－2.
11．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化结论的应用
答案　
解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
12．若logπ[log3(lnx)]＝0，则x＝________.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　e3
解析　∵logπ[log3(lnx)]＝0，∴log3(lnx)＝1，
∴lnx＝3，∴x＝e3.
三、解答题
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)①因为log2x＝－，所以x＝2＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，
所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8，得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2，得2＝6，所以log26＝.
四、探究与拓展
14．已知x＝log23，求＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式化为指数式
答案　
解析　由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝＝，
∴＝＝＝＝.
15．设M＝{0,1}，N＝{lga,2a，a,11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
解　不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．
若lga＝1，则a＝10，此时11－a＝1，从而11－a＝lga＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lga无意义；
若a＝1，此时lga＝0，
从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lga＝1，与集合元素的互异性矛盾．故不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．