第3章 4 第2课时 对数的运算
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第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？
答案 有．例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．
梳理 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)loga＝logaM－logaN.
知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案 设法换为同底．
思考2 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？
答案 把3x＝5化为对数式为log35＝x，
又因为x＝，所以得出log35＝的结论．
梳理 对数换底公式为
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．log2x2＝2log2x.( × )
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．( × )
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．( × )
4．logx2＝.( √ )
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.
(3)原式＝
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6·log23·＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则：
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(3)log43·log98；
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝＝lg102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝
＝2＋－＝.
类型二 代数式的化简
命题角度1 代数式恒等变形
例2 化简loga.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 ∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 ∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23＝a，则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．下列各等式正确的是( )
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg＝lgm(m>0)
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 D
解析 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.C，D显然错误．故选B.
3．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 C
解析 log512＝＝＝＝.
4．lg0.01＋log216的值是________．
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 2
解析 lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是________．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 由已知得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
所以2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③a＝；④(am)n＝；⑤＝－nlogab.
A．2 B．3
C．4 D．5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2.＋等于( )
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 C
解析 原式＝log＋log＝log＋log
＝log＋log＝log
＝log＝＝＝.
3．化简等于( )
A．log54 B．3log52
C．2 D．3
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 ＝log28＝log2(23)＝3.
4．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为( )
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5
＝lg3＋lg＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1.
5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B.
C．25 D.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.
6．计算(log32＋log23)2－－的值是( )
A．log26 B．log36
C．2 D．1
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 C
解析 原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
二、填空题
7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案
解析 原式＝
＝log23·＝.
8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，则＝________.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
10．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
11．若x·log32016＝1，则2016x＋2016－x＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 方法一 ∵x·log32016＝log32016x＝1，
∴2016x＝3，∴2016－x＝.
∴2016x＋2016－x＝3＋＝.
方法二 由x·log32016＝1，得x＝＝log20163，
∴2016x＝＝3,2016－x＝＝.
∴2016x＋2016－x＝3＋＝.
12．若f(x)＝a且f(lga)＝，则a＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案 10或
解析 f(lga)＝a＝＝，
∴alga＝(10a)，两边取常用对数，
得(lga)2＝(1＋lga)，
∴2(lga)2－lga－1＝0，解得lga＝1或lga＝－，
则a＝10或a＝.
三、解答题
13．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
四、探究与拓展
14．若log83＝p，log35＝q，则lg5可以表示为( )
A.B.C.D.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 ∵log83＝＝＝＝p，①
log35＝＝q，②
联立①②两式得lg5＝.
15．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
证明 ∵a，b，c是直角三角形的三边长，c为斜边，
∴log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋
＝
＝
＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，
即等式成立．
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？
答案 有．例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．
梳理 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)loga＝logaM－logaN.
知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案 设法换为同底．
思考2 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？
答案 把3x＝5化为对数式为log35＝x，
又因为x＝，所以得出log35＝的结论．
梳理 对数换底公式为
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．log2x2＝2log2x.( × )
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．( × )
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．( × )
4．logx2＝.( √ )
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.
(3)原式＝
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6·log23·＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则：
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(3)log43·log98；
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝＝lg102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝
＝2＋－＝.
类型二 代数式的化简
命题角度1 代数式恒等变形
例2 化简loga.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 ∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 ∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23＝a，则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．下列各等式正确的是( )
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg＝lgm(m>0)
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 D
解析 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.C，D显然错误．故选B.
3．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 C
解析 log512＝＝＝＝.
4．lg0.01＋log216的值是________．
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 2
解析 lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是________．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 由已知得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
所以2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③a＝；④(am)n＝；⑤＝－nlogab.
A．2 B．3
C．4 D．5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2.＋等于( )
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 C
解析 原式＝log＋log＝log＋log
＝log＋log＝log
＝log＝＝＝.
3．化简等于( )
A．log54 B．3log52
C．2 D．3
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 ＝log28＝log2(23)＝3.
4．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为( )
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5
＝lg3＋lg＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1.
5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B.
C．25 D.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.
6．计算(log32＋log23)2－－的值是( )
A．log26 B．log36
C．2 D．1
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 C
解析 原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
二、填空题
7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案
解析 原式＝
＝log23·＝.
8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
答案 1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，则＝________.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
10．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
11．若x·log32016＝1，则2016x＋2016－x＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 方法一 ∵x·log32016＝log32016x＝1，
∴2016x＝3，∴2016－x＝.
∴2016x＋2016－x＝3＋＝.
方法二 由x·log32016＝1，得x＝＝log20163，
∴2016x＝＝3,2016－x＝＝.
∴2016x＋2016－x＝3＋＝.
12．若f(x)＝a且f(lga)＝，则a＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案 10或
解析 f(lga)＝a＝＝，
∴alga＝(10a)，两边取常用对数，
得(lga)2＝(1＋lga)，
∴2(lga)2－lga－1＝0，解得lga＝1或lga＝－，
则a＝10或a＝.
三、解答题
13．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
考点 对数的运算
题点 具体数化简求解对数值
解 (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
四、探究与拓展
14．若log83＝p，log35＝q，则lg5可以表示为( )
A.B.C.D.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 ∵log83＝＝＝＝p，①
log35＝＝q，②
联立①②两式得lg5＝.
15．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
证明 ∵a，b，c是直角三角形的三边长，c为斜边，
∴log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋
＝
＝
＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，
即等式成立．