第3章 5.1-5.2 对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图像和性质

§5　对数函数
5．1　对数函数的概念
5．2　对数函数y＝log2x的图像和性质
学习目标　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图像特点．
知识点一　对数函数的概念
思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．
梳理　一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．a叫作对数函数的底数．
特别地，称以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数．
知识点二　对数函数的图像与性质
思考　y＝logax化为指数式是x＝ay，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？
答案　当a＞1时，若0＋∞)上为增函数．
当0梳理　类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0，
0(4)当x>1时，y<0，
00
(5)是(0，＋∞)上的增函数
(5)是(0，＋∞)上的减函数
知识点三　反函数的概念
思考　如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
答案　如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
梳理　一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．
1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　√　)
2．y＝2log2x是对数函数．(　×　)
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．(　×　)
4．由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0)．(　√　)
类型一　对数函数的概念
例1　已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg2)．
考点　对数函数的解析式
题点　对数函数的解析式
解　设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝log2＝－1，f(2lg2)＝log22lg2＝lg2.
反思与感悟　对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
解　∵(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
(4)为对数函数．
类型二　对数函数的定义域的应用
例2　求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．若把例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解　由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解　(x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟　求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1(3)要使函数有意义，需
即所以x>且x≠，
故所求函数的定义域为∪.
类型三　对数函数单调性的应用
命题角度1　比较同底对数值的大小
例3　比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　(1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4<8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8<2.7，
于是log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，
于是loga5.1当0又5.1<5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1当0反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　A
解析　∵a＝log3π＞1，b＝log23，则命题角度2　求y＝logaf(x(型的函数值域
例4　函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　(0，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练4　函数y＝的值域为(　　)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－∞，3] D．[0，＋∞)
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　D
解析　∵当x<－1时，0<3x<3－1＝，
当x≥1时，log2x≥log21＝0，
∴函数的值域为∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)．
类型四　对数函数的图像
命题角度1　画与对数函数有关的函数图像
例5　画出函数y＝lg|x－1|的图像．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　(1)先画出函数y＝lgx的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图)．
反思与感悟　现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5　画出函数y＝|lg(x－1)|的图像．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　(1)先画出函数y＝lgx的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像(如图)．
命题角度2　与对数函数有关的图像变换
例6　函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是__________．
考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　(2,4)
解析　因为函数y＝loga(x－1)的图像过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图像过定点(2,4)．
反思与感悟　y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用．
跟踪训练6　已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　D
解析　由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知01．下列函数为对数函数的是(　　)
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　C
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　C
3．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　B
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)
A．log2x B.
C． D．2x－2
考点　函数的反函数
题点　求函数的反函数
答案　A
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　(1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
4．y＝ax与x＝logay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.
一、选择题
1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中对数函数有(　　)
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　A
解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．下列不等号连接错误的一组是(　　)
A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>lnπ
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　D
解析　对A，根据y＝log0.5x为减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1得，lnπ>1>logπe可知错误．
3．下列函数的图像过点(2,2)，且是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x＋1 B．y＝log2(x＋2)
C．y＝logx D．y＝logx
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　C
解析　选项A，B不是对数函数，选项D，函数不过点(2,2)，只有C正确．
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图像过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2B．2C.D．－
考点　对数函数的解析式
题点　对数函数的解析式
答案　B
解析　代入(6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图像如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图像大致是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数图像
答案　D
解析　由f(x)图像可知0∴g(x)的图像应为D.
6．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　C
解析　当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图像如图：
由图可知选C.
二、填空题
7．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点，则a＝________.
考点　函数的反函数
题点　反函数的图像与性质
答案　
解析　因为点在y＝f(x)的图像上，
所以点在y＝ax的图像上，则有＝a，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
8．若函数f(x)＝则f(f(2))的值为______．
考点　
题点　
答案　lg5
解析　∵f(2)＝－2，∴f[f(2)]＝f(－2)＝lg5.
9.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是____________．
考点　对数函数的定义域
题点　与对数函数有关的抽象函数的定义域
答案　{x|2解析　由题意知，f(x)>0，由所给图像可知f(x)>0的解集为{x|210．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　a>c>b
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
11．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是____________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
答案　
解析　要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即
所以－≤a<.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当0综上，当a>1时，x的取值范围是(0,1)；当013．根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
解　函数f(x)＝log2x的图像如图．
(1)∵f(x)＝log2x为增函数，又f(a)>f(2)，
∴log2a>log22.
∴a>2.即a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数f(x)＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
四、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
答案　
解析　∵loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得综上所述，a的取值范围是.
15．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
解　∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.