第3章 5.3 对数函数的图像和性质

5．3　对数函数的图像和性质
学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．
知识点一　y＝logaf(x)型函数的单调区间
思考　我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？
答案　y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域不一定相同．
梳理　一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反．
知识点二　对数不等式的解法
思考　log2x答案　不等价．log2x∴log2x梳理　一般地，对数不等式的常见类型：
当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)?
当0知识点三　不同底的对数函数图像的相对位置
思考　y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数01．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　×　)
2．在(0，＋∞)上为增函数．(　×　)
3．lnx<1的解集为(－∞，e)．(　×　)
4．y＝ax与x＝logay的图像相同．(　√　)
类型一　对数型复合函数的单调性
命题角度1　求单调区间
例1　求函数的值域和单调区间．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵为减函数，且0即函数的值域为[－1，＋∞)．
又函数的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图像知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上是增加的，而在(1,1＋)上是减少的，而为减函数．
∴函数的增区间为(1,1＋)，减区间为(1－，1)．
反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1　已知函数
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　(1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图像知0当0∴
∴函数的值域为[0，＋∞)．
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．
命题角度2　已知复合函数单调性求参数范围
例2　已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，)恒成立，即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟　若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二　对数型复合函数的奇偶性
例3　判断函数f(x)＝ln的奇偶性．
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
解　由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一　f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln是奇函数．
方法二　f(x)＋f(－x)＝ln＋ln
＝ln＝ln1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解　由>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln，
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln＝ln1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3　已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
解　由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
类型三　对数不等式
例4　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0，∴0∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟　对数不等式解法要点：
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4　已知A＝{x|log2x<2}，B＝，则A∩B等于(　　)
A. B．(0，)
C. D．(－1，)
考点　对数不等式
题点　与对数不等式有关的集合的运算
答案　A
解析　log2x<2，即log2x∴A＝(0,4)．
<3x<，即
∴－11.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
考点　对数函数的图像
题点　对数函数图像的应用
答案　A
2．如果那么(　　)
A．yC．1考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
3．函数y＝|lg(x＋1)|的图像是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　A
解析　y＝|lg(x＋1)|的图像可由函数y＝|lgx|的图像向左平移一个单位得到．
4．已知函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a＝________.
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
答案　－2
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝ln＋ln
＝ln＝ln＝0.
∴＝1，即1－a2x2＝1－4x2对定义域内任意x恒成立，∴a2＝4.
又a≠2，∴a＝－2.
5．函数f(x)＝lnx2的减区间为____________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(－∞，0)
1．判断函数奇偶性的三个步骤
(1)一看：定义域是否关于原点对称．
(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0，或者f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.
(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数．
2．判断函数是否具有单调性的方法步骤
(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域.
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　A
解析　要使函数有意义，需满足
∴　∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像只可能是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数的图像
答案　A
解析　当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，而对数函数y＝－logax＝logx为减函数．故选A.
3．已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)
A．0
C.1
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　当a>1时，由loga，故a>1；当01.
4．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上是(　　)
A．先增加后减少 B．先减少后增加
C．增函数 D．减函数
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　D
解析　当15．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A．0C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数范围
答案　C
解析　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图像一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
6．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．[2，＋∞)
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　C
解析　由已知可得a>1，当x∈[0,1]时，2－ax>0恒成立，∴a<2，∴1二、填空题
7．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　∪(1，＋∞)
解析　loga<1＝logaa.当a>1时，恒成立；当08．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(1，＋∞)
解析　由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2x在定义域上是增加的，
y＝x2－1在(1，＋∞)上是增加的，
∴函数的增区间为(1，＋∞)．
9．不等式log(4x＋2x＋1)＞0的解集为______________________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　(－∞，log2(－1))
解析　由log(4x＋2x＋1)＞0，得4x＋2x＋1<1，
即(2x)2＋2·2x<1，配方得(2x＋1)2<2，
因为2x＋1>0，
所以2x<－1，两边取以2为底的对数，
得x10．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.
考点　
题点　
答案　－1
解析　函数y＝loga(x＋3)－的图像恒过定点，又由3－2＋b＝－，得b＝－1.
11．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　
解析　不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－三、解答题
12．已知f(x)＝log(x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
y＝x2＋x＋1在上是减少的，在上是增加的，y＝logx在(0，＋∞)上是减少的，
∴f(x)的增区间为，
减区间为[－，＋∞)．
(2)令u＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为增函数，
又y＝logu为减函数，
∴u在上为减函数，
且u＞0在上恒成立．
因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
13．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值．
考点　
题点　
解　(1)由得
∴　即
∴a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
设t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝2－，
∴当t＝8，即x＝3时，umax＝56.
故f(x)的最大值为log256.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　当a>1时，y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝a0＋loga1＝1，
∴a＋loga2＋1＝a，∴loga2＝－1，a＝(舍去)；
当0y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝a0＋loga(0＋1)＝1，f(x)min＝a＋loga2，
∴a＋loga2＋1＝a，∴a＝.
综上所述，a＝.
15．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图像上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图像交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值；
(3)已知h(x)＝ax，φ(x)＝bx，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
(1)解　由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)解　由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.
(3)证明　因为a1，
所以logca又因为a>1，b>1，所以<，<，
又因为logcb·logca＝logca·logcb，
所以＝，
所以所以，
即h[f(x2)]<φ[f(x1)]．