第3章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标　1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．
知识点一　同类函数增长特点
思考　同样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？
答案　23－22＝4,103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900.
梳理　当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．
知识点二　指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
思考　当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lgx的纵坐标增长了多少？
答案　210－21＝1024－2＝1022,102－12＝99，lg10－lg1＝1，即同样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lgx的纵坐标分别增加了1022,99和1.
梳理　一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)与对数函数y＝logax(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax1，n>0)．
1．先有实际问题，后有模型．(　√　)
2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　√　)
3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(　×　)
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．(　×　)

类型一　根据图像判断函数的增长速度
例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2017)，g(2017)的大小．
考点　
题点　
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1x2.
从图像上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2017)>g(2017)．
又g(2017)>g(6)，∴f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6)．
反思与感悟　判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快．
跟踪训练1　函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
考点　
题点　
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
类型二　函数增长模型的应用
例2　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
考点　
题点　
解　设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
画出三个函数的图像，如图所示，
由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．列表如下：
天数
回报/元
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．
反思与感悟　直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．
跟踪训练2　某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
考点　
题点　
解　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．
观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(　　)
A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3 D．y＝3x
考点　
题点　
答案　D
解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是(　　)
A．①③B．①④C．②③D．②④
考点　
题点　
答案　B
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．
4．当2A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
考点　
题点　
答案　B
解析　方法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
方法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
5．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝____________.
考点　
题点　
答案　③　x2－8x＋17
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.
一、选择题
1．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
考点　
题点　
答案　B
解析　对数函数增长的速度越来越慢，故选B.
2．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
考点　
题点　
答案　C
解析　在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(03．今年小王用7200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，则三年后这种笔记本的价格是(　　)
A．7200×3 B．7200×3
C．7200×2 D．7200×2
考点　
题点　
答案　B
解析　由于小王用7200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7200－7200×＝7200×，两年后，价格为7200××＝7200×2，三年后这种笔记本电脑的价格为7200×3.
4．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
考点　
题点　
答案　A
解析　由题中图像可知，该函数模型为指数函数．
5．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
考点　
题点　
答案　A
解析　由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
6.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是(　　)
考点　
题点　
答案　B
解析　取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
二、填空题
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
考点　
题点　
答案　y3　y2　y1
解析　根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg，火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
考点　
题点　
答案　e6－1
解析　由题意得2000ln＝12000，
∴ln＝6，从而＝e6－1.
9．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
考点　
题点　
答案　ax
解析　由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax>xn>logax.
10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像．有以下叙述：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
考点　
题点　
答案　①③
解析　根据题意，函数的图像经过点，
故函数为y＝t.易知①③正确．
三、解答题
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1)求出v关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．
考点　
题点　
解　(1)设v＝k·log3，
∵当Q＝900时，v＝1，
∴1＝k·log3，∴k＝，
∴v关于Q的函数解析式为v＝log3.
(2)令v＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2700，
∴当一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．
12．国庆黄金周及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天(t∈N＋)的部分数据如下表：
天数t(单位：天)
1
3
8
12
15
日经济收入Q(单位：万元)
218
248
288
284
260
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝－t2＋at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，并求出该函数的解析式；
(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入．
考点　
题点　
解　(1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为单调函数，而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当．
将(1,218)，(8,288)代入Q＝－t2＋at＋b，
可解得a＝19，b＝200.
所以Q＝－t2＋19t＋200(1≤t≤20，t∈N＋)．
(2)Q＝－t2＋19t＋200，因为1≤t≤20，t∈N＋，
所以t＝9或10时，Q取得最大值290万元．
四、探究与拓展
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
考点　
题点　
解　(1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为
L2＝10lg＝10lg1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)．
(2)由题意知0≤L1<50，
即0≤10lg<50，
所以1≤<105，
即1×10－12≤I<1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10－12,1×10－7)．