第4章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在

§1　函数与方程
1．1　利用函数性质判定方程解的存在
学习目标　1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．
知识点一　函数的零点概念
思考　函数的“零点”是一个点吗？
答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
梳理　概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标．
方程、函数、图像之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
知识点二　零点存在性定理
思考　函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f＝lg＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg1＋1＝1.
那么能判断f(x)＝lgx＋x在区间内有零点吗？
答案　能．因为f(x)＝lgx＋x在区间内是连续的，函数值从－变化到1，势必在内某点处的函数值为0.
梳理　若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．
1．f(x)＝x2的零点是0.(　√　)
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　×　)
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　√　)
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
类型一　求函数的零点
例1　函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________．
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　x＝1或x＝10
解析　由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，
∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.
反思与感悟　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　4
解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
类型二　判断函数的零点所在的区间
例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
反思与感悟　在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)<0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2　若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　2
解析　∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
类型三　函数零点个数问题
命题角度1　判断函数零点个数
例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图像知g(x)＝lg(x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟　判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练3　求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的个数．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
解　方法一　由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二　通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图像，观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图像交点的个数．
由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
命题角度2　根据零点情况求参数范围
例4　f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　D
解析　由题意可得a＝x－x(x＞0)．
令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
反思与感悟　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4　若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
B．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)
C.
D.
考点　一元二次方程根的分布
题点　两根分别在两不同区间
答案　D
解析　函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图像列出不等式组
解得∴－∴实数m的取值范围是.
1．函数y＝x的零点是(　　)
A．(0,0) B．x＝0C．x＝1D．不存在
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　B
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　C
3．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
答案　C
4．下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
考点　函数零点的概念
题点　判断函数有无零点
答案　D
5．函数f(x)＝x3－x的零点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　B
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：
(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

一、选择题
1．下列图像表示的函数中没有零点的是(　　)
考点　函数零点的概念
题点　判断函数有无零点
答案　A
解析　B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
答案　D
解析　由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
答案　C
解析　若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错．
5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　B
解析　方法一　由f(x)＝0得2x＋＝0，
∴2x＝.
在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝的图像(图略)，
观察图像可知，当x1∈(1，x0)时，y1当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二　∵函数y＝2x，y＝在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.
6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的个数问题
答案　B
解析　f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2与2.
二、填空题
7．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　(1，＋∞)
解析　f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
考点　一元二次方程根的分布
题点　两根分别在两不同区间
答案　(－12,0)
解析　根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图．
由图可知
即解得－129．函数f(x)＝的零点是________．
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　－2,1
解析　当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.
10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　
解析　画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图像有两个交点，由图可知k＞，且k<1.
三、解答题
11．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数在区间上是否有零点
解　设函数f(x)＝x3－2x，则f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，∴f(1)·f(2)<0，且f(x)在区间[1,2]上连续，∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内有零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内有实数解．
四、探究与拓展
12．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　(0,1)
解析　在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图像，如下图所示．
利用函数图像可知，当013．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
解　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
据此可作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像可知，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．