第4章 1.2 利用二分法求方程的近似解
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| 名称 | 第4章 1.2 利用二分法求方程的近似解 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 236.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 08:48:30 | ||
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文档简介
1．2 利用二分法求方程的近似解
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法的原理
思考 通过上节课的学习，我们知道f(x)＝lnx＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答案 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
梳理 二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．
依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
知识点二 精度与精确到
思考 “精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？
答案 不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
梳理 在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．
为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.
知识点三 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
类型一 二分法的操作
例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(0)＝－3<0，
f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.4375
－0.030
(1.4375,1.5)
1.46875
0.168
(1.4375,1.46875)
1.453125
0.068
(1.4375,1.453125)
因为|1.453125－1.4375|＝0.015625<0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.4375.
引申探究
如何求的近似值？(精度为0.01)
解 设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.0469
(1.25,1.5)
1.375
0.5996
(1.25,1.375)
1.3125
0.2610
(1.25,1.3125)
1.28125
0.1033
(1.25,1.28125)
1.265625
0.0273
(1.25,1.265625)
1.2578125
－0.0100
由于|1.265625－1.2578125|＝0.0078125<0.01，所以1.265625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265625.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375)．
由于|1.375－1.4375|＝0.0625<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.4375.
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次B．6次C．7次D．8次
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 C
解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…；
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.
∵6故对区间(1,2)至少二等分7次．
反思与感悟 对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精度为0.05，
∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 D
2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 C
4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或b
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图像连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精度越高
B．ε越大，零点的精度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 A
解析 易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
4．用二分法求函数f(x)＝lnx－的零点时，初始区间大致可选在( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
解析 由于f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2,3)．
5．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B.
C. D.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.4065)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度0.05)为( )
A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
答案 C
解析 ∵f(1.4065)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.4065)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.4065,1.438)，
又∵|1.4065－1.438|＝0.0315<0.05，
∴方程的近似根为1.4065或1.438.故选C.
二、填空题
7．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1,2)．
9．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴函数f(x)在(0,4)上有零点．
10．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 2
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为增函数，
又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，
∴f(2)·f(3)<0，∴β∈(2,3)，∴n＝2.
三、解答题
11．求函数f(x)＝x2－5的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.0625
(－2.25，－2)
－2.125
－0.4844
(－2.25，－2.125)
－2.1875
－0.2148
(－2.25，－2.1875)
－2.21875
－0.0771
由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.0625<0.1，
所以函数的一个近似解可取－2.25.
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法的原理
思考 通过上节课的学习，我们知道f(x)＝lnx＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答案 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
梳理 二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．
依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
知识点二 精度与精确到
思考 “精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？
答案 不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
梳理 在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．
为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.
知识点三 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
类型一 二分法的操作
例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(0)＝－3<0，
f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.4375
－0.030
(1.4375,1.5)
1.46875
0.168
(1.4375,1.46875)
1.453125
0.068
(1.4375,1.453125)
因为|1.453125－1.4375|＝0.015625<0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.4375.
引申探究
如何求的近似值？(精度为0.01)
解 设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.0469
(1.25,1.5)
1.375
0.5996
(1.25,1.375)
1.3125
0.2610
(1.25,1.3125)
1.28125
0.1033
(1.25,1.28125)
1.265625
0.0273
(1.25,1.265625)
1.2578125
－0.0100
由于|1.265625－1.2578125|＝0.0078125<0.01，所以1.265625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265625.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375)．
由于|1.375－1.4375|＝0.0625<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.4375.
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次B．6次C．7次D．8次
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 C
解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…；
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.
∵6
反思与感悟 对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精度为0.05，
∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 D
2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 C
4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或b
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图像连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精度越高
B．ε越大，零点的精度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 A
解析 易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
4．用二分法求函数f(x)＝lnx－的零点时，初始区间大致可选在( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
解析 由于f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2,3)．
5．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B.
C. D.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.4065)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度0.05)为( )
A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
答案 C
解析 ∵f(1.4065)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.4065)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.4065,1.438)，
又∵|1.4065－1.438|＝0.0315<0.05，
∴方程的近似根为1.4065或1.438.故选C.
二、填空题
7．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1,2)．
9．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴函数f(x)在(0,4)上有零点．
10．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 2
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为增函数，
又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，
∴f(2)·f(3)<0，∴β∈(2,3)，∴n＝2.
三、解答题
11．求函数f(x)＝x2－5的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.0625
(－2.25，－2)
－2.125
－0.4844
(－2.25，－2.125)
－2.1875
－0.2148
(－2.25，－2.1875)
－2.21875
－0.0771
由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.0625<0.1，
所以函数的一个近似解可取－2.25.