第2章函数 章末复习

章末复习
学习目标　1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
1．对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应关系．函数的值域是由定义域和对应关系所确定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．
(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．
(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．
2．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2?f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．
函数单调性的判断方法：①定义法；②图像法．
3．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．
1．函数的定义域、值域都是集合．(　√　)
2．如果设全集U＝{映射}，A＝{函数}，B＝{奇函数}，C＝{偶函数}，则A(U，B∪C＝A.(　×　)
3．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．(　√　)
4．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．(　√　)
类型一　函数的三要素
例1　已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.
当a＝2时，y＝x3在(－∞，2]上是增加的，∴x3∈(－∞，8]．
y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞)．
∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.
(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，
∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2)．
当a＝0时，f(x)在R上是增函数，
∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)．
当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，
要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，
需a3>a2，即a>1.
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
反思与感悟　分段函数也是函数，所以它的定义域、值域都分别是一个数集，求定义域、值域时要把各段相应的值合并．在(2)中寻找不同的x，使其对应相同的y时，也要把目光放在整个函数上．
跟踪训练1　设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　作出函数f(x)＝的图像，如图，不妨设x1类型二　函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝
－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性综合
(1)证明　由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，可得
f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是减函数．
(2)解　∵f(x)在R上是减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小．
又f(1)＝－，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×＝－2.
∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)解　由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2，即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为减函数，f(x)>f(－3－x)，得x<－3－x，
解得解集为.
反思与感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2　函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性的综合
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－15类型三　函数图像的画法及应用
例3　对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；
(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值综合问题
解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图像关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图像如图所示，
根据图像知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．
增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
反思与感悟　画函数图像的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3　已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈
[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
解　当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图像关于直线x＝1对称．
由此可得f(x)在[－3,5]上的图像如下：
在同一坐标系内画出y＝的图像，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f(x)＝在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
1．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f作用下的像是(　　)
A．3B．4C．5D．6
考点　映射
题点　
答案　A
解析　依题意有解得
∴当x＝5时，y＝5＋(－2)＝3.
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．P(Q
C．P(Q D．P∩Q＝?
考点　函数定义域、值域
题点　具体函数的定义域、值域求法
答案　B
解析　P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q(P.
3．函数f(x)＝则f的值为(　　)
A.B．－C.D．18
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f＝f＝1－2＝.
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　C
解析　f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　C
解析　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．(1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图像上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.
一、选择题
1．已知f(2x＋1)＝x2－2x－5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝4x2－6
B．f(x)＝x2－x－
C．f(x)＝x2＋x－
D．f(x)＝x2－2x－5
考点　求解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝2－2·－5＝t2－t－，
∴f(x)＝x2－x－.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A．1B．2C.D．－
考点　函数奇偶性的应用
题点　已知函数奇偶性求参数值
答案　A
解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0C．0考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　B
解析　当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图像开口朝上，a＞0且－≥4，得0当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于(　　)
A．－7B．－2C．7D．27
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，
f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
7．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　D
解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
二、填空题
8．已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a＝________.
考点　幂函数
题点　幂函数性质应用
答案　3
解析　由题意，a2－2a－2＝1，∴a＝－1或3，
又当a＝－1时，y＝x－1定义域不是R，舍去，
当a＝3时，y＝x3在R上是增函数，符合题意．
9．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　2x＋3
解析　设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　(－3,1)
解析　因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，
解得－3三、解答题
11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
12．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用对勾函数性质求最值
解　(1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38000＋4000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上递减，在[10,200)上递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118000(元)．
答　当x＝米时，可使总造价最少，最小值为118000元．
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
考点　
题点　
解　(1)∵方程f(x)＝2x有两相等实根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图像的对称轴，
而此函数图像的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图像的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
四、探究与拓展
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
考点　
题点　
答案　x2－2　x
解析　∵f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性的综合
解　(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．