第3章 指数函数和对数函数 章末复习

章末复习
学习目标　1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和04．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
1.＝a.(　×　)
2．y＝log2(2x)的图像可由y＝log2x的图像向上平移一个单位长度得到．(　√　)
3．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(　√　)
4．y＝的增区间为(－∞，0]．(　×　)
类型一　指数、对数的运算
例1　化简：
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
解　原式＝
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　原式＝
＝log39－9＝2－9＝－7.
反思与感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝＝21＋4×27＋1＝111.
类型二　数的大小比较
例2　比较下列各组数的大小．
(1)27,82；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上递增知26<27，即82<27.
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
∴<<，
即log20.4考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　∵
log2∴
反思与感悟　数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2　比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)a1.2，a1.3；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4，0.43，log0.43.
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1　函数的性质及应用
例3　已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数的综合问题
解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x在R上都是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x在R上都是减函数，
所以函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，解得
②当a>0，b<0时，x<－，解得
反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
考点　对数函数的定义域与值域
题点　求对数函数的定义域与值域
解　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴
命题角度2　函数的图像及应用
例4　如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图像
答案　C
解析　借助函数的图像求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图像如图.
由　得
∴结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练4　函数f(x)＝xln|x|的大致图像是(　　)
考点　对数型函数的图像
题点　对数型函数的图像性质
答案　A
解析　显然函数f(x)＝xln|x|为奇函数，C，D错，当01．化简为(　　)
A．1B．2C．3D．0
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　B
解析　＝
＝＝2.
2．为了得到函数g(x)＝log2(－2x＋2)的图像，只需把函数f(x)＝log2(－2x)图像上所有的点(　　)
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度
考点　
题点　
答案　D
解析　函数f(x)＝log2(－2x)的图像向右平移一个单位长度得函数g(x)＝log2[－2(x－1)]＝log2(－2x＋2)的图像．
3．函数f(x)＝x与函数在区间(－∞,0)上的单调性为(　　)
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
考点　指数函数与对数函数的关系
题点　指数函数与对数函数的关系
答案　D
解析　f(x)＝x在x∈(－∞，0)上为减函数，为偶函数，x∈(0，＋∞)时为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
4．已知Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是(　　)
A．PC．Q考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　B
解析　由函数y＝x3在R上是增函数知，3<3，由函数y＝2x在R上是增函数知，
所以P＞R＞Q.
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　对数函数的图像
题点　指数、对数函数图像的应用
答案　B
解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴的交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图像(图略)，易知有2个交点．
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查.
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　B
解析　由得－1即x∈(－1,0)∪(0,2]．
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　D
解析　2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.
3．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)
A．3B．6C．9D．12
考点　与对数函数有关的分段函数求值
题点　与对数函数有关的分段函数求值
答案　C
解析　因为－2<1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝＝×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　D
解析　方法一　当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上是减函数．
当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上是增函数，故选D.
方法二　f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图．
由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.
5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)
考点　函数的反函数
题点　反函数的图像与性质
答案　C
解析　因为f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x，所以y＝f(1－x)＝21－x＝x－1，其函数图像可由函数y＝x的图像向右平移1个单位长度得到，故选C.
6．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上是增函数，若a＝f，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　C
解析　因为1＝log所以0因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(log)因为f(x)是偶函数，
所以a＝f＝f(－log)＝f(log)，
b＝f＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．
所以c＞a＞b.
二、填空题
7．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log＝________.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　4
解析　因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
即lgxy＝lg(x－2y)2，得x2－5xy＋4y2＝0，
解得x＝y(不符，舍去)或x＝4y，
所以log＝log4＝4.
8．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
答案　1
解析　f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
9．已知a＝(a＞0)，则loga＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　4
解析　∵a＝(a＞0)，
∴log(a)＝log＝2，
∴loga＝2，∴loga＝4.
10．若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　(－8，－6]
解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即
11．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上是增函数，则实数m的最小值为________．
考点　
题点　
答案　1
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上是增函数．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞)．
∴m≥1，即m的最小值为1.
三、解答题
12．求值：lg2·lg50＋lg5·lg20－lg100·lg5·lg2.
考点　
题点　
解　lg2·lg50＋lg5·lg20－lg100·lg5·lg2＝lg2·lg(25×2)＋lg5·lg(4×5)－2lg5·lg2
＝lg2(2lg5＋lg2)＋lg5(2lg2＋lg5)－2lg5·lg2
＝2lg2·lg5＋(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2－2lg5·lg2＝(lg2＋lg5)2＝(lg10)2＝1.
13．已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at (t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与最值有关的对数型函数综合问题
解　把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，
得t＋－logay＝3.
∴logay＝t2－3t＋3，
∴y＝.
又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，
则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，
此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，
此时x＝at＝a＝(a)2＝82＝64.
四、探究与拓展
14．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
考点　对数、指数、幂函数的图像
题点　对数、指数、幂函数的图像与性质
答案　
解析　由图像可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图像上，所以2＝logxA，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数y＝x的图像上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图像上，
所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
考点　
题点　
解　(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增加的，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上是增加的．
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝.
∴t≥.
故t的最小值为.