第4章 函数应用章末复习

章末复习
学习目标　1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．
1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数的零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即零点存在性定理仅对连续函数适用)．
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)<0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0.
4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精度，计算时及时检验．
5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
1．函数y＝f(x)－g(x)的零点即方程＝1的根．(　×　)
2．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.(　√　)
3．存在x0，当x>x0时，有2x>x3.(　√　)
4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．(　√　)

类型一　函数的零点与方程的根的关系及应用
例1　已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的综合应用
答案　x1解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋lnx＝0，得lnx＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x的图像，
如图可知x1<0令h(x)＝x－－1＝0，
则()2－－1＝0，
所以＝，
即x3＝2＞1.
所以x1反思与感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．
跟踪训练1　若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　C
解析　显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0，解得0类型二　用二分法求函数的零点或方程的近似解
例2　方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是(　　)
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
考点　用二分法求方程的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在区间
答案　C
解析　设f(x)＝x3－x－3，因为f(1)·f(2)＝(1－1－3)×(23－2－3)＝－9<0，所以函数的零点即对应方程的解所在的区间是[1,2]．
反思与感悟　(1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2考点　用二分法求方程的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在区间
答案　2
解析　∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2∴－2又1∴0又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
类型三　函数模型及应用
例3　如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型的综合应用
解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?
存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立?
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.
所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标．
反思与感悟　在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．
跟踪训练3　某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b
(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型的综合应用
答案　24
解析　依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．

1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的个数问题
答案　D
解析　在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图像，当a＞1时，如图(1)，当02.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型的应用
答案　D
解析　由晨练的图像可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合．故选D.
3．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　A
解析　由题意a4．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
考点　函数零点存在性定理
题点　与函数零点有关的参数取值范围问题
答案　(log32,1)
5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　2
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图：
一、选择题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞ B．a＞或a<－1
C．－1考点　函数的零点与方程根的关系
题点　由函数零点个数求参数的取值范围
答案　B
解析　当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a<－1或a＞.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B．－2,0
C. D．0
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　D
解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　　)
A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断
考点　函数零点的综合应用
题点　函数零点的综合应用
答案　D
解析　观察下列各种图像：
上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)<0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15B．40C．25D．130
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型
答案　C
解析　当1≤x<10时，y＝4x∈[4,40)，
当10≤x<100时，y＝2x＋10∈[30,210)，
当x≥100时，y＝1.5x∈[150，＋∞)，
∵60∈[30,210)，∴60＝2x＋10，x＝25.
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(　　)
A. B.
C. D.
考点　函数零点存在性定理
题点　判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　因为f(x)在定义域内为递增函数，而在4个选项中，只有ff<0，所以零点所在区间为.
6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则(　　)
A．a<αC．a<α<β考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　B
解析　设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图像向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图像(图略)可得α二、填空题
7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　由函数零点个数求参数的取值范围
答案　(0,1]
解析　作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示：
由图可知k∈(0,1]．
8．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连续曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程f(x)＝0的根时取有根区间为________．
考点　用二分法求方程的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在区间
答案　(a，x0)
解析　利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f(a)·f(x0)<0，则取有根区间为(a，x0)．
9．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟．
考点　建立函数模型解决实际问题
题点　指数函数模型
答案　10
解析　由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶1中的水量只有，
则ae－n(t＋5)＝，即＝3，解得t＝10.
10．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　4
解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图像如图所示，易知它们有4个交点．
三、解答题
11．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；
(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型的应用
解　(1)由函数图像可知
当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；
当8所以Q＝
(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，
即f(x)＝
＝
所以当5≤x≤8时，在x＝处，f(x)取得最大值；
当8综上可知，该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．