疑难规律方法 第3章 指数函数和对数函数

文档属性

名称 疑难规律方法 第3章 指数函数和对数函数
格式 zip
文件大小 667.7KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-09-21 08:53:31

图片预览

文档简介


1 解读指数函数的四个难点
盘点了指数函数的性质后,下面来分析突破指数函数的几大难点,供同学们学习掌握.
难点之一:概念
指数函数y=ax有三个特征:①指数:指数只能是自变量x,而不能是x的函数;②底数:底数为常数,大于0且不等于1;③系数:系数只能是1.
例1给出五个函数:①y=2×6x;②y=(-6)x;③y=ex;④y=xx;⑤y=22x+1.
其中指数函数的个数是________.
分析 根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察,是否满足指数函数的定义.
解析 对于①,系数不是1;对于②,底数小于0;对于④,底数x不是常数;对于⑤,指数是x的一次函数,故①②④⑤都不是指数函数.正确的是③,只有③符合指数函数的定义.
答案 1
难点之二:讨论
指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当a>1时,是增函数;当0例2函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值.
分析 遇到底数是参数时,应优先分类讨论,此题应先对a进行分类讨论,再列出方程并求出a.
解 当a>1时,函数y=ax在[1,2]上的最大值是a2,最小值是a,依题意得a2-a=,即a2=,所以a=;
当0综上可知,a=或a=.
难点之三:复合
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时,特别是研究单调性时,应掌握好“同增异减”法则.
例3求函数y=的减区间.
分析 指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数.此题先求出函数的定义域,再利用复合函数的“同增异减”法则求解.
解 由-x2+x+2≥0知,函数的定义域是[-1,2].
令u=-x2+x+2=-2+,
则y=,
当x∈时,随x的增大,u增大,y减小,
故函数的减区间为.
难点之四:图像
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像特征是:当a>1时,在y轴的右侧,a越大,图像越往上排;在y轴左侧,a越大,图像越往下排.
例4利用指数函数的图像比较0.7-0.3与0.4-0.3的大小.
分析 可在同一坐标系中作出y=0.7x及y=0.4x的图像,从图像中得出结果.
解 如图所示,作出y=0.7x,y=0.4x及x=-0.3的图像,
易知0.7-0.3<0.4-0.3.
评注 图像应记忆准确,在第二象限中靠近y轴的函数应是y=0.4x,而不是y=0.7x,这一点应注意.
2 换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.
一、换底公式及证明
换底公式:logbN=.
证明 设logbN=x,则bx=N.两边均取以a为底的对数,得logabx=logaN,∴xlogab=logaN.
∴x=,即logbN=.
二、换底公式的应用举例
1.乘积型
例1 (1)计算:log89·log2732;
(2)求证:logab·logbc·logcd=logad.
分析 先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.
(1)解 换为常用对数,得log89·log2732=·
=·=×=.
(2)证明 由换底公式,得logab·logbc·logcd
=··=logad.
评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.
2.知值求值型
例2已知log1227=a,求log616的值.
分析 本题可选择以3为底进行求解.
解 log1227==a,解得log32=.
故log616==
==.
评注 这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.
3.综合型
例3设A=++,B=+,试比较A与B的大小.
分析 本题可选择以19及π为底进行解题.
解 A换成以19为底,B换成以π为底,
则有A=log195+2log193+3log192=log19360<2,
B=logπ2+logπ5=logπ10>logππ2=2.
故A评注 一般也有倒数关系式成立,即logab·logba=1,logab=.

3 精析对数函数
一、对数函数的概念
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为(0,+∞).
由对数的定义容易知道对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数.在对数函数中自变量是对数式中的真数,函数值为对数,这一点在运用对数时要谨记.若对数式中的底数为自变量时,此函数不是对数函数.
二、对数函数的图像和性质
1.对数函数性质的记忆与运用的注意事项
(1)数形结合——利用图像记忆性质.x=1是“分水岭”;
(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1;
(3)指数函数y=ax与对数函数y=logax(其中a>0,且a≠1)互为反函数,它们的概念、图像、性质,既有密切的联系又有本质的区别.
2.对数函数图像分布规律
如图所示,在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是:在直线x=1的右边区域,在x轴上方,对数函数的图像越靠近x轴,底数越大,且底数均大于1;在x轴下方,对数函数的图像越靠近x轴,底数越小,且底数均在(0,1)之间.图中的对数函数的底数a,b,c,d的大小关系是0例1函数y=log(x-1)(4-x)的定义域是________.
解析 由得
所以函数的定义域是(1,2)∪(2,4).
答案 (1,2)∪(2,4)
评注 函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合,若出现对数,要使其真数大于0,底数大于0且不等于1.
例2 函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图像如图所示,则a,b,c,d与正整数1的大小顺序是(  )
A.1C.c解析 作出直线y=1,可知其与对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a,b,c,d,于是c答案 B
评注 利用特殊值的办法解决有关对数函数的图像问题,可减轻记忆的负担,使问题得到迅速地解决.
4 巧解指数、对数函数综合题
指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数,它们有共同的底数,且底数起了核心作用,其变化规律是:当a>1时,它们在各自的定义域内都是增函数;当01.共享底数
对数式与指数式互化,其底数一致,即logaN=b,ab=N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题.
例1方程log3(1-2·3x)=2x+1的解x=________.
解析 将对数式化为指数式,得32x+1=1-2·3x,
即3·(3x)2+2·3x-1=0,
得3x=(负值舍去),故x=-1.
答案 -1
2.亮出底数
在有些指数、对数函数问题,特别是图像问题中,只要突出底数作用,即亮出底数,根据函数的单调性,就可解决.
例2当a>1时,在同一坐标系中,能表示函数y=a-x与y=logax的图像的是(  )
解析 由a>1,得0<<1,则指数函数y=a-x=x在R上是减函数,对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,故排除B,C,D.
答案 A
3.变换底数
对数或指数运算最怕是不同底,这时可利用换底公式等手段变换底数.
例3若loga2A.0C.a>b>1 D.b>a>1
解析 化为同底,有<<0,
从而log2b即log2b∵对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
∴0答案 B
4.讨论底数
当底数不定时,常分0例4函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5,则a=________.
解析 由题意知,a>0,且a≠1.
①当a>1时,有a1-a0=5,即a=6;
②当0综上知,a=6.
答案 6
5.消去底数
有时候指数及对数问题的底数存在,会给解题带来一定的麻烦,我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数,使问题简化.
例5设0解 作商=|log(1+x)(1-x)|,
∵0∴|log(1+x)(1-x)|=-log(1+x)(1-x)=log(1+x)
=log(1+x)>log(1+x)(1+x)=1.
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.