疑难规律方法 第4章 函数应用

1　函数的零点及应用
一、要点扫描
1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)<0是f(x)在区间[a，b]内有零点的充分不必要条件．
2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．
二、典型例题剖析
1．求函数的零点
例1求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．
解　令f(x)＝x3－3x＋2＝0，
∴(x＋2)(x－1)2＝0.
∴x＝－2或x＝1，
∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.
评注　求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图像与x轴的交点问题．
2．判断函数零点的个数
例2已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．
解　设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图像(如图所示)．所以方程f(x)＝0的根有一个．
评注　利用数形结合的思想解决零点问题，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图像，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)．
3．确定零点所在的区间
例3设函数y＝x3与y＝x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析　y＝x3与y＝x－2的图像的交点的横坐标即为x3＝x－2的根，即f(x)＝x3－x－2的零点，f(1)＝1－－1＝－1<0，f(2)＝23－0＝7＞0，
∴f(x)的零点在(1,2)内．
答案　B
评注　本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．
4．利用函数零点的存在性求参数范围
例4关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
又∵f(0)＝1>0，由题意得
①
或②
解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3，即m≤－1.
所以m的取值范围为(－∞，－1]．
评注　本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．

2　零点问题考向探究
函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．
一、判断函数零点的存在性
例1　已知函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是(　　)
A．函数在区间(－1,0)内有零点
B．函数在区间(0,1)内有零点
C．函数在区间(1,2)内有零点
D．函数在区间(2,3)内有零点
分析　根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点．
解析　因为f(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，
所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，
f(2)·f(3)<0.
又因为一个三次方程最多有三个实根，
所以函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点．
答案　C
评注　由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，来确定零点的唯一性，不失为解决不易判断单调性的函数零点问题的好方法．
二、判断函数零点所在的大致区间
例2　函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析　因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案　B
评注　若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上连续，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.
3　解读二分法
“二分法”是现行教材中一个新增内容，它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图像交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．
一、定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法．
二、要注意适用条件
若用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上图像要连续不断．例如函数y＝图像不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；②必须满足f(a)·f(b)<0，这说明y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在区间(a，b)上不能保证有无零点，不能用“二分法”．
三、注意用二分法求函数零点近似值的一般步骤
给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)；
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
4．判断是否达到精度ε：即若|a－b|≤ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
四、二分法的优、缺点
二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．
例求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解．(精度为0.1)
分析　先利用函数图像直观得到某根所在的区间．
解　设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图像的草图，如图所示．
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2＞0，
∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，
记为x1，取2和3的中间数2.5，
∵f(2.5)＝0.25＞0，
所以x1∈(2,2.5)，
再取2与2.5的中间数2.25，
∵f(2.25)＝－0.4375<0，
∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.4375)＞0，
则x1∈(2.375,2.4375)，
∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，
∴此方程一个大于零的近似解为2.4.
评注　运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间.
4　函数应用问题“讲”与“练”
讲解一　求函数模型
例1某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．
解　设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·＝tx.
依题意，知x＝40－t＞0，即t<25.
故所求的函数关系式为y＝×t＝－4t2＋100t(0评注　在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
练习1　经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为关于时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________________.
讲解二　函数模型的选用
例2某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
分析　根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.
解　设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，
g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得
所以
解得
所以f(t)＝(t－150)2＋100，g(t)＝－t＋175.
因为f(200)＝(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
评注　本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．
练习2　现有一组数据如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1.5
3.51
7.5
…
其中最能近似地表达这些数据规律的函数是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－ D．y＝x3－x＋1
练习1　2t2＋108t＋400
练习2　C