人教A版高中数学必修四：2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案

课题
2.2. 3向量数乘运算及其几何意义
课型
新授课
教学
目标
1.知识与技能:
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3. 情感态度与价值观：
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
重点
难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
教具
准备
多媒体课件
课时
安排
1课时
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
（一）复习回顾
问题1：向量加法的运算法则？
问题2：向量减法的运算法则？
（二）新课讲解
1.向量数量积的定义
【探究1】
已知非零向量，作出和，你能说出他们的几何意义吗？
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？
一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
（1）
（2）当λ>0时，的方向与的方向相同；
当λ<0时，的方向与的方向相反。
由（1）可知，当或时，
练一练：P90 1T.2T
2.向量数乘的运算律
【探究2】
问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律：
第一分配律：
第二分配律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量、及任意实数、,恒有。
例5：计算(口答)
(1)
(2)
(3)
练一练：P90 5T
3、向量共线定理
【探究3】
问题1：如果 (), 那么，向量与是否共线？
问题2: 与非零向量共线， 那么， ？
思考：1. 为什么要是非零向量？
2. 可以是零向量吗？
向量共线定理 ： 向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得
例6.已知任意两非零向量、，试作, ，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
【变式练习】如图，已知、，试判断与是否共线?
思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
总结: ① 证明 向量共线；
② 证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点
若，即与共线且有一个公共点B，则A、B、C三点共线；
③ 证明 两直线平行:
∥
AB、CD 不重合
四．当堂检测 见《优化方案》
五．课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
六．作业布置： 必做：习题2.2 A组9.12.13题
选做：B组4题
板
书
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
1. 向量数量积的定义 4、例题应用
2. 向量数乘的运算律
3．向量共线定理
教学
反思