人教A版高中数学必修五1.2.1《应用实例》教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五1.2.1《应用实例》教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 09:07:23 | ||
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文档简介
《应用举例》教案
教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离,高度，角度的实际问题，了解常用的测量相关术语.
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
教学重、难点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.
根据题意建立数学模型，画出示意图.
教学过程
一.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离，高度，角度等问题.
二.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.
[例题讲解]
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离（精确到0.1m）
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7（m）
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型.
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得:
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析.
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50.已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD（精确到1 m）
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边.
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得.
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 （m）
CD =BD -BC≈177-27.3=150（m）
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC.
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得.（解题过程略）
例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524（km）
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047（m）
答:山的高度约为1047米
例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式.在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9（cm）
（2）根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-（B + C）= 180-（62.7+ 65.8）=51.5
S = 3.16≈4.0（cm）
（3）根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4（cm）
例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结.
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38（m）
答：这个区域的面积是2840.38m.
例9、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2（bc+ca+ab）
=（b+c- a）+（c+a-b）+（a+b-c）
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数.
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
三.课时小结
1、解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
2、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
3、利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.
教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离,高度，角度的实际问题，了解常用的测量相关术语.
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
教学重、难点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.
根据题意建立数学模型，画出示意图.
教学过程
一.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离，高度，角度等问题.
二.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.
[例题讲解]
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离（精确到0.1m）
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7（m）
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型.
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得:
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析.
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50.已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD（精确到1 m）
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边.
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得.
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 （m）
CD =BD -BC≈177-27.3=150（m）
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC.
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得.（解题过程略）
例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524（km）
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047（m）
答:山的高度约为1047米
例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式.在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9（cm）
（2）根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-（B + C）= 180-（62.7+ 65.8）=51.5
S = 3.16≈4.0（cm）
（3）根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4（cm）
例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结.
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38（m）
答：这个区域的面积是2840.38m.
例9、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2（bc+ca+ab）
=（b+c- a）+（c+a-b）+（a+b-c）
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数.
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
三.课时小结
1、解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
2、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
3、利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.